演算法學習筆記（二） 01揹包問題之回溯解法

揹包問題，相信各位看官肯定都有所耳聞！筆者就在此簡單的描述一下揹包問題：

給定一揹包和n件物品，揹包的容量為c，第i件物品的重量為w[i],價值為v[i]（1<=i<=n）;問裝那些物品，可使得價值最大？

思路分析：顯然，每種物品不外乎兩種選擇：裝入和不裝入揹包！若將裝入用狀態1表示，不裝入用狀態0表示；那麼就可構成乙個二叉樹！一共有n層，所以就可通過從第一層開始遍歷搜尋，在裝入的物品總重量不大於c的情況下，找到最優解了！

思路還是蠻簡單的，別的不多說，直接上**：

public
class
demo1
;//每個物體的重量：5個物體
private
staticint
v =;//每個物體的價值
private
staticint
x=newint[6
];//存放每個物體的選中情況
private
static
intbestcp =0
;//當前的最優解
private
staticint
bestcparr 
=new
int[6];
private
static
intcount =0
;private
static
intn =5
;//物體的數目
public
static
void
main
(string
args
)system
.out
.println(""
);system
.out
.println
(bestcp
);system
.out
.println
("該樹有"
+count 
+"種遍歷方式");}
/*** 
* @param i：查詢到了第i個物品（i從1開始索引）
* @param cv：當前包中價值
* @param cw:當前包中重量
*/private
static
void
backtrack
(inti ,
intcw 
,intcv)
}}else}}
}}

我們知道，回溯法的效率並不是很高的！因為回溯法，就其本質而言，還是屬於窮舉！只不過它就提供了乙個窮舉的思路：回溯！的確也是這樣，上面**中的例子中的物品只由5個，換句話說，所構成的二叉樹也只有5層！但當物品有10個，20個，甚至100個話，構成的二叉樹是多麼的龐大！（筆者覺得不可想象深度為100的二叉樹）！故在上述**的基礎上，很有必要去做乙個演算法的優化！在網上看了別人的部落格之後，大致知道了乙個思路：即在不斷的遍歷左子樹（即不斷的將物品裝入）的過程中，如果出現了不能再裝入下一物品的情況時，這時就需要去遍歷右子樹！但是如果，如果在剩餘容量情況下，將剩餘容量的揹包裝滿（如果大於0且小於物品的重量的話，按照單位重量的價值乘以剩餘容量來算）的情況下得到的總價值比當前最優解還要的小的話，那麼該右子樹是完全沒有必要去遍歷，而需要直接剪除的！這樣就達到了優化的目的！廢話不多說，直接上**：

/**
*本演算法的上界函式是這樣定義的！首先利用冒泡法排序，按照單位價值右高到低開始順序排列！
*這樣的話，就能保證，先裝進去的是價效比（自己發明的，勿噴）最優的！
而在上界函式中，也是如此，
求的是剩餘
*容量在右子樹所能容納的最**值（揹包容量允許情況下），一旦小於當前最優解，那麼就
*沒有繼續遍歷該右子樹的必要**/
public
class
demo2}}
// 回溯函式
private
static
void
backtrack
(inti)
// 將物品裝進揹包：此種情況的話if(
cw +w[
i]<=c)
if(bound(i 
+1)>
bestp
)// 符合條件搜尋右子數
backtrack(i 
+1);}
// 計算上界函式
//演算法剩餘容量的情況下最多能裝的價值
private
static
double
bound
(inti)
if(i <=n)
b +=v[
i]/w
[i]*
leftw
;returnb;
}public
static
void
main
(string
args
); //每個物體的重量：5個物體
// private static int v = ; //每個物體的價值v[
0]=0
;v[1
]=6;
v[2]
=3;v
[3]=
5;v[
4]=4
;v[5
]=6;
w[0]
=0;w
[1]=
2;w[
2]=2
;w[3
]=6;
w[4]
=5;w
[5]=
5;n =
5;c =
10;knapsack
();backtrack(1
);system
.out
.println
(bestp
);for
(inti =
1;i <=n;
i++)
system
.out
.println(""
);}}

現在，我們來分析下時間複雜度，最好的情況當然是能夠剪除所有的右子樹，而最優的物品選擇剛好全在左子樹上了！而最壞的情況自然是搜尋右子樹的次數最多了呀！

到此，直接遍歷窮舉和優化之後的回溯法來解決10揹包問題的分析解答終於寫完了！寫了一上午啊！

筆者水平有限，望各位看官勿怪！

參考部落格：

優化的回溯法解決10揹包問題

遍歷的回溯法解決10揹包問題

演算法學習筆記（二） 01揹包問題之回溯解法

演算法學習 01揹包問題

演算法學習筆記之基礎dp之（0 1）揹包問題

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