雙調歐幾里得旅行商問題是乙個經典動態規劃問題。《演算法導論（第二版）》思考題15-1和北京大學oj2677都出現了這個題目。
旅行商問題描述：平面上n個點，確定一條連線各點的最短閉合旅程。這個解的一般形式為np的（在多項式時間內可以求出）
j.l. bentley 建議通過只考慮雙調旅程(bitonictour)來簡化問題,這種旅程即為從最左點開始，嚴格地從左到右直至最右點，然後嚴格地從右到左直至出發點。下圖(b)顯示了同樣的7個點的最短雙調路線。在這種情況下，多項式的演算法是可能的。事實上，存在確定的最優雙調路線的o(n*n)時間的演算法。
上圖中，a是最短閉合路線，這個路線不是雙調的。b是最短雙調閉合路線。
求解過程：
（1）首先將各點按照x座標從小到大排列，時間複雜度為o(nlgn)。
（2）尋找子結構：定義從pi到pj的路徑為：從pi開始，從右到左一直到p1，然後從左到右一直到pj。在這個路徑上，會經過p1到pmax(i,j)之間的所有點且只經過一次。
在定義d(i,j)為滿足這一條件的最短路徑。我們只考慮i>=j的情況。
同時，定義dist(i,j)為點pi到pj之間的直線距離。
（3）最優解：我們需要求的是d(n,n)。
關於子問題d(i,j)的求解，分三種情況：
a、當j < i - 1時，d(i,j) = d(i-1,j) + dist(i - 1,i)。
由定義可知，點pi-1一定在路徑pi-pj上，而且又由於j
b、當j = i - 1時，與pi左相鄰的那個點可能是p1到pi-1總的任何乙個。因此需要遞迴求出最小的那個路徑：
d(i,j) = d(i,i-1) = min,其中1 <= k <= j。
//這段應該是作者的筆誤，應寫成
d(i,j) = d(i,i-1) = min
c、當j=i時，路徑上最後相連的兩個點可能是p1-pi、p2-pi...pi-1-pi。
因此有：
d(i,i) = min.。
演算法筆記 雙調歐幾里得旅行商問題
reference 1 演算法導論 15 3 2 將所有點按x座標從小到大排序後 假設不存在重複 從左至右標記為0,1,2 n 1 那麼這問題的關鍵乙個性質是，對於一點i i 0 和任意包含它的雙調路徑，i 1一定是i的前繼或者後繼。如果我們假設乙個環遊的順序，比如逆時針 f i j i j 表示從...
雙調歐幾里得旅行商問題 《演算法導論》
題目描述 給定平面上n個點作為輸入，要求從最左端的點開始，嚴格向右前進，直到最右端的點，再嚴格向左前進到第乙個點，每乙個點只能經過一次。主演算法 d i,j 表示兩個人第乙個點出發沿著不同的路徑分別走到i,j 並且經過1 max i,j 的所有點到達終點還需要的距離。di st i j 表示i,j ...
演算法導論 15 1 雙調歐幾里得旅行商問題
先做以下定義 對所有點按x座標排序，從0開始依次為每個點編號，令 1 兩條路徑分別為a和b，且起點都是點0，方向嚴格向右 2 a i 表示路徑a的一種狀態，起點為點0，終點為點i，方向嚴格向右，0 i 3 b j 表示路徑b的一種狀態，起點為點0，終點為點i，方向嚴格向右，0 j 4 d i j 為...