a、b是非負整數，p是質數。ab寫成p進製：a=a[n]a[n-1]…a[0]，b=b[n]b[n-1]…b[0]。
則組合數c(a,b)與c(a[n],b[n])c(a[n-1],b[n-1])…*c(a[0],b[0]) modp同餘
即：lucas(n,m,p)=c(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p,p)
然而如果p很大c(n%p,m%p)也是會溢位的，這裡要用到m!(n-m)!的逆元。（雖然我並不知道逆元什麼東西 /(ㄒoㄒ)/~~ 感覺自己差的太多）
根據費馬小定理（並不懂這個定理怎麼證明的 (@﹏@)~）：
已知(a, p) = 1，則 ap-1 ≡ 1 (mod p), 所以 a*ap-2 ≡ 1 (mod p)。
也就是 (m!(n-m)!)的逆元為 (m!(n-m)!)p-2
下面是模板
#define ll long long
ll fac[100003];
void init(ll p)
}ll pow(ll a, ll b, ll p)
a = (a*a)%p;
b >>= 1;
}return ret;
}ll lucas(ll a, ll b, ll p)
return ret;
}
計算c(n+m,m)%p
#include
#define ll long long
using namespace std;
ll fac[100003];
void init(ll p)
}ll pow(ll a, ll b, ll p)
a = (a*a)%p;
b >>= 1;
}return ret;
}ll lucas(ll a, ll b, ll p)
return ret;
}int main()
return
0;
}
lucas定理推廣
#include
#define ll long long
#define n 1005
using
namespace
std;
int main()
printf("%lld\n", (long
long)pow(2, t));
}return
0;}
組合數取模介紹 Lucas定理介紹
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