Floyd判圈演算法（龜兔賽跑演算法）

一、演算法簡述

floyd判圈演算法（floyd cycle detection algorithm），又稱龜兔賽跑演算法（tortoise and hare algorithm），是乙個可以在有限狀態機、迭代函式或者鍊錶上判斷是否存在環，以及判斷環的起點與長度的演算法。

二、基本思路

在某種關係下，頂點 i 到 k 拓撲有序，頂點 k 到 j 也是相同的順序，那麼 i 和 j 也存在這個順序。要是某乙個頂點出現了自己到自己的環，那麼圖中就有環，但是這種方法複雜度高一些，沒有檢測頂點出度或者dfs的方法快，但是非常簡單。

三、問題

如何檢測乙個鍊錶是否有環，如果有，那麼如何確定環的起點和環的長度。

四、解決方案

（

1）判斷是否有環？

龜兔解法的基本思想可以用我們跑步的例子來解釋，如果兩個人同時出發，如果賽道有環，那麼快的一方總能追上慢的一方。進一步想，追上時快的一方肯定比慢的一方多跑了幾圈，即多跑的路的長度是圈的長度的倍數。

基於上面的想法，floyd用兩個指標，乙個慢指標（龜）每次前進一步，快指標（兔）指標每次前進兩步（兩步或多步效果時等價的，只要乙個比另乙個快就行）。如果兩者在煉表頭以外的某一點相遇（即相等）了，那麼說明鍊錶有環，否則，如果（快指標）到達了鍊錶的結尾，那麼說明沒壞。

（2）求環的長度

相遇的時候，一定已經在環上了，然後兩個人只要再次在環上接著跑，再次相遇的時候（也就是所謂的套圈），跑的快的那個人就比跑的慢的人整整多跑了一圈，所以環的長度也就出來了。

（3）如何確定環的起點

環的檢測用上述原理，接下來我們來看一下如何確定環的起點，這也是floyd解法的第二部分。方法是將其中乙個指標移到鍊錶起點，兩者同時移動，每次移動一步，那麼兩者相遇的地方就是環的起點。

解析：

首先假設第一次相遇的時候慢指標走過的節點個數為i，設煉表頭部到環的起點的長度為m，環的長度為n，相遇的位置與起點與起點位置距離為k。

於是有：

i = m + a * n + k

其中a為慢指標走的圈數。

因為快指標的速度是慢指標的2倍，於是又可以得到另乙個式子：

2 * i = m + b * n + k

其中b為快指標走的圈數。

兩式相減得：

i = ( b - a ) * n

也就是說i是圈長的整數倍。

這是將其中乙個節點放在起點，然後同時向前走m步時，此時從頭部走的指標在m位置。而從相遇位置開始走的指標應該在距離起點i+m，i為圈長整數倍，則該指標也應該在距離起點為m的位置，即環的起點。

例項程式如下：

int *head = list.gethead();

if (head != null)

fastptr = fastptr->next->next;

slowptr = slowptr->next;

} while (fastptr != slowptr);

//確定環的起點

slowptr = head;

while(slowptr != fastptr)

cout<<"the starting point of the cycle is "<