floyd求最小環

1 定義:

通常來說最小環是針對有向圖而言

從乙個點出發,經過一條簡單路徑回到起點成為環.圖的最小環就是所有環中長度最小的.

2.怎樣求最小環呢?

的解決方法(dijkstra):

任意乙個環的權值，我們都可以看成兩個有邊相連的結點i、j的直接距離加上i、j間不包含邊(邊i->j)的最短路徑。求最短路徑我們第乙個想到的就是dijkstra演算法。而dijkstra所求的是乙個點到所有點的最短距離。用dijkstra所求的i、j的最短距離一定是i、j的直接距離(如果i，j連通)，所以我們需要先將i、j的邊從圖中刪除(若i，j不連通，則不用刪除)，再用dijkstra求新圖中i、j的最短距離即可。所以我們每次在圖中選取一條邊，把它從圖中刪掉．然後對刪掉的那條邊所對應的2點進行dijkstra，也就是m次dijkstra。

拋開dijkstra演算法，進而我們想到用floyd演算法。我們知道，floyd演算法在進行時會不斷更新矩陣dist(k)。設dist[k，i，j]表示從結點i到結點j且滿足所有中間結點，它們均屬於集合的一條最短路徑的權。其中dist[0，i,j ]即為初始狀態i到j的直接距離。對於乙個給定的賦權有向圖，求出其中權值和最小的乙個環。我們可以將任意乙個環化成如下形式：u->k->v ->(x1-> x2-> ⋯ xm1)-> u(u與k、k與v都是直接相連的)，其中v ->(x1-> 2-> ⋯ m)-> u是指v到u不經過k的一種路徑。

在u，k，v確定的情況下，要使環權值最小，則要求 (x1一》x2->⋯一》xm)->u路徑權值最小．即要求其為v到u不經過k的最短路徑，則這個經過u，k，v的環的最短路徑就是：[v到u不包含k的最短距離]+dist[o，u，k]+dist[o，k，v]。我們用floyd只能求出任意2點間滿足中間結點均屬於集合的最短路徑，可是我們如何求出v到u不包含k的最短距離呢?**

現在我們給k加乙個限制條件：k為當前環中的序號最大的節點(簡稱最大點)。因為k是最大點，所以當前環中沒有任何乙個點≥k，即所有點都小於k因為v->(x1->x2->……xm)->u屬於當前環，所以x1，x2，⋯ ，xm小於k，即x1，x2．⋯。xm≤k一1。這樣，v到u的最短距離就可以表示成dist[k一1 ,u,v]。dist[k一1,v,u]表示的是從v到u且滿足所有中間結點均屬於集合的一條最短路徑的權。接下來，我們就可以求出v到u不包含k的最短距離了。這裡只是要求不包含k，而上述方法用的是dist[k一1，v，u]，求出的路徑永遠不會包含k+l，k+2，⋯ 。萬一所求的最小環中包含k+1，k+2，⋯ 怎麼辦呢?的確，如果最小環中包含比k大的節點，在當前u,k,v所求出的環顯然不是那個最小環。然而我們知道，這個最小環中必定有乙個最大點ko，也就是說，雖然當前k沒有求出我們所需要的最小環，但是當我們從k做到ko的時候，這個環上的所有點都小於ko了．也就是說在k=ko時一定能求出這個最小環。我們用乙個例項來說明：假設最小環為1—3—4—5—6—2—1。的確，在u=l，v=4，k=3時，k<6，dist[3，4，1]的確求出的不是4—5—6—2—1這個環，但是，當u=4，v=6，k=5或u=5，v=2，k=6時，dist[k，v，u]表示的都是這條最短路徑.所以我們在floyd以後，只要列舉u．v，k三個變數即可求出最小環。時間複雜度為o(n3)。我們可以發現，floyd和最後列舉u，v,k三個變數求最小環的過程都是u,v,k三個變數，所以我們可以將其合併。這樣，我們在k變數變化的同時，也就是進行floyd演算法的同時，尋找最大點為k的最小環。

3.模板

includeusing
namespace
std;
const
int maxn=105;
const
int inf=10000000;
int dist[maxn][maxn],g[maxn][maxn];
int fa[maxn][maxn],path[maxn];
int n,m,num,minc;
void floyd()
path[num++]=i;
path[num++]=k;}}
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)}}
}int main()
while(m--)
floyd();
if(minc==inf)
printf("no solution.\n");
else
}system("pause");
return
0;}

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