數論高斯消元

學了一天的高斯消元，又退了兩天，才接著補坑，唉~~自己為什麼這麼不爭氣~~

主要的學習高斯消元的**還是**---何江舟的《高斯消元解線性方程組》

注意幾點：

1.equ和var分別代表方程數和未知數

2.在**中注意k和col的實時變化，k迴圈結束後表示消元後的最後乙個行，col迴圈後的為第var-1列（0~var）

3.注意無窮解的**段

4.temp=a[i][var];

for(j=0; jif(a[i][j]!=0&&j!=free_index) temp-=a[i][j]*x[j];

}x[free_index]=temp/a[i][free_index];

這**段剛開始看不懂，但是其實就是手算的過程，畫一下就應該能夠明白，例如a*x+b*y=c，則求x=（c-b*y）/a；

5.注意浮點數的時候的sgn函式，有誤差所以要小心

何江舟-高斯消元法解線性方程組

[數論] 高斯消元（整型和浮點型）

高斯消元法(gauss elimination) 分析 & 題解 & 模板——czyuan原創

高斯消元法，是線性代數中的乙個演算法，可用來求解線性方程組，並可以求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。

高斯消元法的原理是：

若用初等行變換將增廣矩陣化為，則ax = b與cx = d是同解方程組。

所以我們可以用初等行變換把增廣矩陣轉換為行階梯陣，然後回代求出方程的解。

以上是線性代數課的回顧，下面來說說高斯消元法在程式設計中的應用。

首先，先介紹程式中高斯消元法的步驟：

(我們設方程組中方程的個數為equ，變元的個數為var，注意：一般情況下是n個方程，n個變元，但是有些題目就故意讓方程數與變元數不同)

1. 把方程組轉換成增廣矩陣。

2. 利用初等行變換來把增廣矩陣轉換成行階梯陣。

列舉k從0到equ – 1，當前處理的列為col(初始為0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素絕對值最大的列與第k行交換。如果col列中的元素全為0，那麼則處理col + 1列，k不變。

3. 轉換為行階梯陣，判斷解的情況。

① 無解

當方程中出現(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0時，說明是無解的。

② 唯一解

條件是k = equ，即行階梯陣形成了嚴格的上三角陣。利用回代逐一求出解集。

③ 無窮解。

條件是k < equ，即不能形成嚴格的上三角形，自由變元的個數即為equ – k，但有些題目要求判斷哪些變元是不缺定的。

這裡單獨介紹下這種解法：

首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個。我們先把所有的變元視為不確定的。在每個方程中判斷不確定變元的個數，如果大於1個，則該方程無法求解。如果只有1個變元，那麼該變元即可求出，即為確定變元。

以上介紹的是求解整數線性方程組的求法，複雜度是o(n3)。浮點數線性方程組的求法類似，但是要在判斷是否為0時，加入eps，以消除精度問題。

整型高斯消元模板：

#include#include#include #include #include #include using namespace std;
const int maxn =50;
int equ,var; //有equ個方程，var個變元
int a[maxn][maxn] ; //增廣矩陣
int x[maxn]; //解集
bool free_x[maxn]; //標記是否是不確定的變元，初始化為true,確定為0 
void debug(void) 
// 與第k行交換.
if(max_r!=k) 
// 高斯消元法解方程組(gauss-jordan elimination).(-1表示無解，0表示唯一解，大於0表示無窮解，並返回自由變元的個數) 
int gauss(int equ,int var)
if(max_r!=k)
{// 與第k行交換. 
for(j=k;j=0;i--)
{ free_x_num=0;
for(j=0;j1) continue;
temp=a[i][var];
for(j=0;j=0;i--)
{ temp=a[i][var];
for(j=i+1;j0) {
cout<

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