高消一直是acm中高層次經常用到的演算法，雖然線性代數已經學過，但高消求解的問題模型及高消模板的應用變化是高消的最複雜之處。
先介紹一下高消的基本原理：引入網際網路czyuan的帖子：
高斯消元法，是線性代數中的乙個演算法，可用來求解線性方程組，並可以求出矩陣的秩，以及求出可逆方陣的逆矩陣。
高斯消元法的原理是：
若用初等行變換將增廣矩陣 化為 ，則ax = b與cx = d是同解方程組。
所以我們可以用初等行變換把增廣矩陣轉換為行階梯陣，然後回代求出方程的解。
以上是線性代數課的回顧，下面來說說高斯消元法在程式設計中的應用。
首先，先介紹程式中高斯消元法的步驟：
(我們設方程組中方程的個數為equ，變元的個數為var，注意：一般情況下是n個方程，n個變元，但是有些題目就故意讓方程數與變元數不同)
1. 把方程組轉換成增廣矩陣。
2. 利用初等行變換來把增廣矩陣轉換成行階梯陣。
列舉k從0到equ – 1，當前處理的列為col(初始為0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素絕對值最大的列與第k行交換。如果col列中的元素全為0，那麼則處理col + 1列，k不變。
3. 轉換為行階梯陣，判斷解的情況。
① 無解
當方程中出現(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0時，說明是無解的。
② 唯一解
條件是k = equ，即行階梯陣形成了嚴格的上三角陣。利用回代逐一求出解集。
③ 無窮解。
條件是k
< equ，即不能形成嚴格的上三角形，自由變元的個數即為equ – k，但有些題目要求判斷哪些變元是不缺定的。
這裡單獨介紹下這種解法：
首先，自由變元有var - k個，即不確定的變元至少有var - k個。我們先把所有的變元視為不確定的。在每個方程中判斷不確定變元的個數，如果大於1個，則該方程無法求解。如果只有1個變元，那麼該變元即可求出，即為確定變元。
以上介紹的是求解整數線性方程組的求法，複雜度是o(n3)。浮點數線性方程組的求法類似，但是要在判斷是否為0時，加入eps，以消除精度問題。
以上czyuan帖子的基本原理就介紹完了。
--------------------------我對上面的步驟做一下說明
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高斯消元求解的詳細步驟：
1） 不用說了，對增廣矩陣先消元，化為行階梯矩陣。
很多人認為這就行了，但有時存在如下情況：
1 2
3 4 30
1 2 3 3
0 0
0 1 20
0 0 0 0
消元後的矩陣化為行階梯，上面主對角線元素的主元並沒有連續，還應將第4
列和第3
列交換才行。
這是網路上很多的模板所沒有的，也是造成關鍵時候出錯的根源所在。
所以模板還要增加對列進行檢查的**。
2） 消元完成後，判斷是否有解，分三種，無解，有1
個解和有無窮多解。
3） 對於有唯一解和有無窮多解的時候，都要回帶。
啥是回帶？ 詳細說明之。
1 2
3 4
3 1
2 4 3 3
0 1
2 3
3 0
1 3 2 3
0 0
0 1
2--------》
0 0
1 0
2 ------
》消元後的矩陣
------
發現有無窮解 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0（行階梯）
（交換列）
因為4個變數，才3行，
4-3=1> 0
,有無窮多解啊。
如果第4
行不都是
0，回帶可以求出這個唯一解。如下：
x1 x2 x3
x4 b1
0 x2
x3 x4
b20
0 x3
x4 b3
0 0
0 x4
b4最後1
行，有x4=b4; 第3
行： x4+x3=b3,
已經求出
x4=b4
了，帶入第
3行，可求出
x3;同理，把
x4 x3
帶入第2
行，還可求出
x2;把
x4 x3
x2 帶入到第
1行，可求出
x1;
這就是回帶。
回帶總結：從最後1
行，逐一往回帶，從最後
1行代回到第1行。
最關鍵的時候到了：當無窮多解時，最後幾行都是0
；沒法回帶；而某些題目在無窮多解時還要你求最小或最優解，沒辦法，就得列舉最後行為
0的那幾個解； 如：
1 2 4 3 3
0 1
3 2 30
0 1
0 2 0
0 0 0 0
可見最後的x4
沒法解，如果題中給定
x4的範圍，那就列舉
x4，然後回帶；列舉1次
x4就回帶
1次得到一組（
x1 x2
x3 x4 ）;
然後根據題意找最優的，具體題目具體分析。
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