Miller Rabin質數測試

費馬小定理：對於質數p和任意整數a，有a^p ≡ a(mod p)(同餘)。反之，若滿足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率為質數。
將兩邊同時約去乙個a，則有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

也即是說：假設我們要測試n是否為質數。我們可以隨機選取乙個數a，然後計算a^(n-1) mod n，如果結果不為1，我們可以100%斷定n不是質數。

否則我們再隨機選取乙個新的數a進行測試。如此反覆多次，如果每次結果都是1，我們就假定n是質數。

該測試被稱為fermat測試。需要注意的是：fermat測試不一定是準確的，有可能出現把合數誤判為質數的情況。

miller和rabin在fermat測試上，建立了miller-rabin質數測試演算法。

與fermat測試相比，增加了乙個二次探測定理：

如果p是奇素數，則 x^2 ≡ 1(mod p)的解為 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)

如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，miller-rabin演算法不是立即找另乙個a進行測試，而是看n-1是不是偶數。如果n-1是偶數，另u=(n-1)/2，並檢查是否滿足二次探測定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。

舉個matrix67 blog上的例子，假設n=341，我們選取的a=2。則第一次測試時，2^340 mod 341=1。由於340是偶數，因此我們檢查2^170，得到2^170 mod 341=1，滿足二次探測定理。同時由於170還是偶數，因此我們進一步檢查2^85 mod 341=32。此時不滿足二次探測定理，因此可以判定341不為質數。

將這兩條定理合起來，也就是最常見的miller-rabin測試。

#include #include #include #include #include #include #include #include #include #define maxn 50005
#define inf 1e18
using namespace std;
typedef long long ll;
ll solve1(ll a, ll b, ll n)
return ans;
}ll solve2(ll a, ll b, ll n)
return ans;
}bool is_prime(ll n)
if(p != 1)
return false;
} return true;
}int main()
}return 0;
}

Miller Rabin質數測試

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