Miller Rabin質數測試

這種質數演算法是基於費馬小定理的乙個擴充套件。

費馬小定理：對於質數p和任意整數a，有a^p ≡ a(mod p)(同餘)。反之，若滿足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率為質數。 將兩邊同時約去乙個a，則有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

也即是說：假設我們要測試n是否為質數。我們可以隨機選取乙個數a，然後計算a^(n-1) mod n，如果結果不為1，我們可以100%斷定n不是質數。

否則我們再隨機選取乙個新的數a進行測試。如此反覆多次，如果每次結果都是1，我們就假定n是質數。

該測試被稱為fermat測試。需要注意的是：fermat測試不一定是準確的，有可能出現把合數誤判為質數的情況。

miller和rabin在fermat測試上，建立了miller-rabin質數測試演算法。

與fermat測試相比，增加了乙個二次探測定理：

如果 p 是奇素數，則 x^2 ≡ 1(mod)p 的解為 x ≡ 1 或 x ≡ p-1(mod p)

偽**：

miller-rabin(n):

if (n 
<= 2
) then
if (n == 2
) then
return true
end if
return false
end if
if (n mod 
2 == 0
) then
//n為非2的偶數，直接返回合數
return false
end if
//我們先找到的最小的a^u，再逐步擴大到a^(n-1)
u = n - 1; //
u表示指數
while (u % 2 == 0
) u = u / 2
end while 
//提取因子2
for i = 1 .. s //
s為設定的測試次數
a = rand_number(2, n - 1) //
隨機獲取乙個2~n-1的數a
x = a^u %n
while (u 
//依次次檢查每乙個相鄰的 a^u, a^2u, a^4u, ... a^(2^k*u)是否滿足二次探測定理
y = x^2 %n 
if (y == 1 and x != 1 and x != n - 1) //
二次探測定理
//若y = x^2 ≡ 1(mod n)
//但是 x != 1 且 x != n-1
return false
end if
x =y
u = u * 2
end while
if (x != 1) then //
fermat測試
return false
end if
end for
return true

//

快速判斷是否為質數 
#include #include 
#include 
#define ss 100
#define ll long long 
using
namespace
std;
ll mod_mul(ll a, ll b, ll n)
return
res;}//
快速冪 (a^b)%n 
ll mod_exp(ll a, ll b, ll n)
return
res;
}bool
millerrabin(ll x)
if(xx!=1) return
false
; }
return
true;}
intmain() 
return0;
}

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