Miller Rabin質數測試

miller-rabin素數測試演算法——forever_dreams

hihocoder #1287

非精確演算法警告

當我們需要判斷素數時，如果樸素\(o(\sqrt)\)演算法不能通過，那麼可以通過miller-rabin素數測試，來大概率地判斷其是否為素數。

（2）二次探測：如果 p 是乙個素數，0 < x < p, 則方程 \(x^\equiv 1(mod\ p)\) 的解為 x = 1 或 x = p - 1

費馬小定律&二次探測的證明

小hi：這種質數演算法是基於費馬小定理的乙個擴充套件，首先我們要知道什麼是費馬小定理：

費馬小定理：對於質數p和任意整數a，有a^p ≡ a(mod p)(同餘)。反之，若滿足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率為質數。

將兩邊同時約去乙個a，則有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

也即是說：假設我們要測試n是否為質數。我們可以隨機選取乙個數a，然後計算a^(n-1) mod n，如果結果不為1，我們可以100%斷定n不是質數。

否則我們再隨機選取乙個新的數a進行測試。如此反覆多次，如果每次結果都是1，我們就假定n是質數。

該測試被稱為fermat測試。需要注意的是：fermat測試不一定是準確的，有可能出現把合數誤判為質數的情況。

miller和rabin在fermat測試上，建立了miller-rabin質數測試演算法。

與fermat測試相比，增加了乙個二次探測定理：

如果p是奇素數，則 x^2 ≡ 1(mod p)的解為 x ≡ 1 或 x ≡ p - 1(mod p)

如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，miller-rabin演算法不是立即找另乙個a進行測試，而是看n-1是不是偶數。如果n-1是偶數，另u=(n-1)/2，並檢查是否滿足二次探測定理即a^u ≡ 1 或 a^u ≡ n - 1(mod n)。

舉個matrix67 blog上的例子，假設n=341，我們選取的a=2。則第一次測試時，2^340 mod 341=1。由於340是偶數，因此我們檢查2170，得到2170 mod 341=1，滿足二次探測定理。同時由於170還是偶數，因此我們進一步檢查2^85 mod 341=32。此時不滿足二次探測定理，因此可以判定341不為質數。

將這兩條定理合起來，也就是最常見的miller-rabin測試。

但一次mr測試仍然有一定的錯誤率。為了使我們的結果盡可能的正確，我們需要進行多次mr測試，這樣可以把錯誤率降低。

寫成偽**為：

miller-rabin(n):
if (n <= 2) then
if (n == 2) then
return true
end if
return false
end if
if (n mod 2 == 0) then
// n為非2的偶數，直接返回合數
return false
end if
// 我們先找到的最小的a^u，再逐步擴大到a^(n-1)
u = n - 1; // u表示指數
while (u % 2 == 0) 
u = u / 2
end while // 提取因子2
for i = 1 .. s // s為設定的測試次數
a = rand_number(2, n - 1) // 隨機獲取乙個2~n-1的數a
x = a^u % n
while (u < n) 
// 依次次檢查每乙個相鄰的 a^u, a^2u, a^4u, ... a^(2^k*u)是否滿足二次探測定理
y = x^2 % n 
if (y == 1 and x != 1 and x != n - 1) // 二次探測定理
// 若y = x^2 ≡ 1(mod n)
// 但是 x != 1 且 x != n-1
return false
end if
x = y
u = u * 2 
end while
if (x != 1) then // fermat測試
return false
end if
end for
return true

值得一提的是，miller-rabin每次測試失誤的概率是1/4；進行s次後，失誤的概率是4^(-s)。

小hi：那麼小ho，你能計算出這個演算法的時間複雜度麼？

小ho：恩，每一次單獨的mr測試，需要o(log n)的時間。一共要進行s次mr測試，也就是o(slog n)。

小hi：沒錯，這樣就能夠在很短的時間內完成質數的測試了。當然如果你還是不放心，可以把s的值設定的更高一點。

小ho：好！這樣就能夠順利的找到大質數了。

本題的提示參考了matrix67的blog和wikipedia的詞條。

matrix67的blog有更多的細節描寫。wiki中的偽**比上文中的簡潔一些，並且有介紹了一些小技巧：比如如果n<2^64（n<1e18），只用選取a=2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37做測試即可

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