##線性方程組linear equation
若兩個線性方程組有相同的解集（solution set），稱它們為等價（equivalent）的。
線性方程組的解的情況
稱線性方程組為
無解不相容（inconsistent）
有唯一解
相容（consistent）
有無窮多解相容
初等行變換（elementary row operation）
倍加變換：把某一行換成它本身與另一行的倍數的和
對換變換：把兩行對換
倍乘變換：把某一行的所有元素乘以同乙個非零數
行變換可施行於任何矩陣（matrix）。
若乙個矩陣可以經過一系列行初等變換成為另乙個矩陣，稱兩個矩陣為行等價的。
若兩個線性方程組的增廣矩陣（augmented matrix）是行等價的，則它們具有相同的解集。
##行簡化row reduction與階梯形echelon form
行階梯形矩陣（ref）性質
每一非零行在每一零行之上
每一行的先導元素（leading entry）所在的列位於前一行先導元素的右邊
每一先導元素所在列下方的元素都是零
簡化行階梯形矩陣（rref）性質
每一非零行在每一零行之上
每一行的先導元素所在的列位於前一行先導元素的右邊
每一先導元素所在列下方的元素都是零
每一非零行的先導元素是1
每一先導元素1是該元素所在列的唯一非零元素
每個矩陣行等價於唯一的簡化行階梯形矩陣。
矩陣的主元位置（pivot position）為對應階梯形的先導元素的位置，主元列是含有主元位置的列。
行化簡演算法
第一步：從最左邊的非零列開始選取主元列
第二步：從主元列中選取乙個非零元作為主元，對換變換將主元移至主元位置
第三步：倍加變換將主元下面的元素變成0
第四步：對剩下的子矩陣進行上述三步處理
第五步：從最右邊的主元開始，倍乘變換將主元變成1，倍加變換將主元上方元素變成0
第一至四步為向前步驟，第五步為向後步驟。
用基本變數（basic variable）和自由變數（free variable）表示的解稱為方程組的通解（general solution）。
存在性與唯一性定理（判斷線性方程組是否相容以及解的個數）
線性方程組相容的充要條件是增廣矩陣的最右列不是主元列
若線性方程組相容，當沒有自由變數時，有唯一解；當至少有乙個自由變數時，有無窮多解
解線性方程組
第一步：寫出增廣矩陣
第二步：將增廣矩陣化為階梯形，判斷方程組是否有解
第三步：將增廣矩陣化為簡化階梯形，寫出通解
##向量方程vector equation
僅含一列的矩陣稱為列向量（column vector）。
r
nr^n
rn中向量的運算
u+v=v+u
（u+v）+w=u+（v+w）
u+0=u
c（du）=（cd）u
1u=u
c（u+v）=cu+cv
（c+d）u=cu+du
線性組合
y =c
1v1+
⋯+cp
vp
y=c_1v_1+\cdots+c_pv_p
y=c1v
1+⋯
+cp
vp稱為v1,
v2,⋯
,v
pv_1,v_2,\cdots,v_p
v1,v2
,⋯,
vp以c1,
c2,⋯
,c
pc_1,c_2,\cdots,c_p
c1,c2
,⋯,
cp為權（weight）的線性組合（linear combination）
當增廣矩陣[a1
a2⋯a
nb
][a_1 a_2 \cdots a_n b]
[a1a2
⋯an
b]有解時，b
bb可以表示為a1,
a2,⋯
,a
na_1,a_2,\cdots,a_n
a1,a2
,⋯,
an的線性組合。
若v 1,
v2,⋯
,v
pv_1,v_2,\cdots,v_p
v1,v2
,⋯,
vp是r
nr^n
rn中的向量，則包含v1,
v2,⋯
,v
pv_1,v_2,\cdots,v_p
v1,v2
,⋯,
vp的所有線性組合的集合用span表示，稱為由v1,
v2,⋯
,v
pv_1,v_2,\cdots,v_p
v1,v2
,⋯,
vp生成的r
nr^n
rn的子集（subset）。
判斷b是否屬於span 即 判斷增廣矩陣[v1
v2⋯v
pb
][v_1 v_2 \cdots v_p b]
[v1v2
⋯vp
b]是否有解
線性代數 線性方程組與矩陣
乙個m個方程，n個未知數的方程組定義如下 a11x1 a12x2 a1nxna21x1 a22x2 a2nxn?am1x1 am2x2 amnxn b1 b2 bm 1 其中aij及bi均為實數，1 稱為m n的線性方程組。若方程組有解，則稱其為相容的 consistent 否則為不相容的。定義 若...
線性方程組
給出乙個線性方程組的標準形式 a11x1 a12x 2 a1nx na21x 1 a22 x2 a2n xnan 1x1 an2x 2 annx n b1 b2 bn 1x 2y 34x 5y 6 1 2 這裡由克萊姆法則進行計算得出xy 3625 14 25 3 5 2 61 5 2 4 3 3 ...
線性方程組
若線性方程組相容，則此方程組有1個或無窮多個解 若線性方程組不相容，則該方程組無解。線性方程組所有解的集合被稱為線性方程組的解集 若線性方程組不相容，則解集為空集。若兩個含有相同變數的方程組具有相同的解集，則稱它們是等價的。有三種運算可以得到等價的方程組 交換任意兩個方程的順序 任一方程兩邊同乘乙個...