數論二 Eular質數篩法

如何去快速得求解[1,n]這個區間內素數的個數呢？

自然我們已經知道了如何快速判定乙個數是否是質數，那麼我就直接將[1,n]之間每乙個數判定一次，就可以得到結果。

雖然我們已經通過快速素數檢測將每一次判定的時間複雜度降低，但是n個數字的話，總的時間複雜度依舊很高。

發現如果乙個數p是質數的話，那麼它的倍數一定都不是質數。所以我建立了乙個布林型別的陣列isprime，初始化都為true。我從2開始列舉，當我找到乙個isprime[p]仍然為true時，可以確定p一定是乙個質數。接著我再將n以內所有p的倍數全部設定為isprime[p*i]=false。

寫成偽**為：

isprime = true
primecount = 0
for i = 2 .. n
if isprime[i] then
primecount = primecount + 1
multiple = 2
while (i * multiple ≤ n)
isprime[i * multiple] = false
multiple = multiple + 1
end while 
end if
end for

這個演算法叫做eratosthenes篩法，是一種非常古老的質數篩選演算法。其時間複雜度為o(n log log n)。但是這個演算法有乙個冗餘的地方：比如合數10，在列舉2的時候我們判定了一次，在列舉5的時候我們又判定了一次。因此使得其時間複雜度比o(n)要高。

乙個改進的方法叫做eular篩法，其時間複雜度是o(n)的。

輸入第1行：1個正整數n，表示數字的個數，2≤n≤1,000,000。

輸出第1行：1個整數，表示從1到n中質數的個數

樣例輸入

樣例輸出

我們可以知道，任意乙個正整數k，若k≥2，則k可以表示成若干個質數相乘的形式。eratosthenes篩法中，在列舉k的每乙個質因子時，我們都計算了一次k，從而造成了冗餘。因此在改進演算法中，只利用k的最小質因子去計算一次k。

首先讓我們了解一下eular篩法，其偽**為：

isprime = true
primelist = 
primecount = 0
for i = 2 .. n
if isprime[i] then
primecount = primecount + 1
primelist[ primecount ] = i
end if 
for j = 1 .. primecount
if (i * primelist[j] > n) then
break
end if
isprime[ i * primelist[j] ] = false
if (i % primelist[j] == 0) then
break
end if
end if
end for

與eratosthenes篩法不同的是，對於外層列舉i，無論i是質數，還是是合數，我們都會用i的倍數去篩。但在列舉的時候，我們只列舉i的質數倍。比如2i,3i,5i,...，而不去列舉4i,6i...，原因我們後面會講到。

此外，在從小到大依次列舉質數p來計算i的倍數時，我們還需要檢查i是否能夠整除p。若i能夠整除p，則停止列舉。

利用該演算法，可以保證每個合數只會被列舉到一次。我們可以證明如下命題：

假設乙個合數k=m*p1，p1為其最小的質因子。則k只會在i=m，primelist[j]=p1時被篩掉一次。

首先會在i=m，primelist[j]=p1時被篩掉是顯然的。因為p1是k的最小質因子，所以i=m的所有質因子也≥p1。於是j迴圈在列舉到primelist[j]=p1前不會break，從而一定會在i=m，primelist[j]=p1時被篩掉

其次不會在其他時候被篩掉。否則假設k在i=n, primelist[j]=p1時被篩掉了，此時有k=n*p2。由於p1是k最小的質因子，所以p2 > p1，m > n且p|n。則i=n，j列舉到primelist[j]=p1時(沒到primelist[j]=p2)就break了。所以不會有其他時候篩掉k。

同時，不列舉合數倍數的原因也在此：對於乙個合數k=m*2*3。只有在列舉到i=m*3時，才會計算到k。若我們列舉合數倍數，則可能會在i=m時，通過m*6計算到k，這樣也就造成了多次重複計算了。

綜上，eular篩法可以保證每個合數只會被列舉到一次，時間複雜度為o(n)。當n越大時，其相對於eratosthenes篩法的優勢也就越明顯。

#include #include #include #include #include #include #include #define ll long long
using namespace std;
//file *stream;
int n;
const int n = 1000005;
bool isprime[n];
int primelist[n];
int primecount = 0;
int count[n];
void eular()
count[i] = primecount;
for (int j = 1; j <= primecount; ++j)
/*int multiple = 2;
while (i*multiple <= n)
*/ }}
int main()

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