數論二 Eular質數篩法

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描述小ho：小hi，上次我學會了如何檢測乙個數是否是質數。於是我又有了乙個新的問題，我如何去快速得求解[1,n]這個區間內素數的個數呢？

小hi：你自己有什麼想法麼？

小ho：有！我一開始的想法是，自然我們已經知道了如何快速判定乙個數是否是質數，那麼我就直接將[1,n]之間每乙個數判定一次，就可以得到結果。但我發現這個方法太笨了。

小hi：確實呢，雖然我們已經通過快速素數檢測將每一次判定的時間複雜度降低，但是n個數字的話，總的時間複雜度依舊很高。

小ho：是的，所以後來我改變了我的演算法。我發現如果乙個數p是質數的話，那麼它的倍數一定都是質數。所以我建立了乙個布林型別的陣列 isprime，初始化都為true。我從2開始列舉，當我找到乙個isprime[p]仍然為true時，可以確定p一定是乙個質數。接著我再將n以內所有p的倍數全部設定為isprime[p*i]=false。

寫成偽**為：

isprime = true
primecount = 0
for i = 2 .. n
if isprime[i] then
primecount = primecount + 1
multiple = 2
while (i * multiple ≤ n)
isprime[i * multiple] = false
multiple = multiple + 1
end while 
end if
end for

小hi：小ho你用的這個演算法叫做eratosthenes篩法，是一種非常古老的質數篩選演算法。其時間複雜度為o(n log log n)。但是這個演算法有乙個冗餘的地方：比如合數10，在列舉2的時候我們判定了一次，在列舉5的時候我們又判定了一次。因此使得其時間複雜度比o(n)要高。

小ho：那有沒有什麼辦法可以避免啊？

小hi：當然有了，乙個改進的方法叫做eular篩法，其時間複雜度是o(n)的。

輸入第1行：1個正整數n，表示數字的個數，2≤n≤1,000,000。

輸出第1行：1個整數，表示從1到n中質數的個數

樣例輸入

樣例輸出

開個ｂｏｏｌ陣列ｆ記錄ｉ是否為素數。

先全部賦為１，表示這個數為素數。

從２開始篩合數，若ｉ為素數，則ａ＊ｉ，ａ∈ｚ肯定為合數。

對於每乙個ｉ，都去篩一遍，只篩素數倍，不篩合數倍，因為每個合數倍的都會被其他的比ｉ大的數篩掉。

然後還有乙個優化，假設列舉到的素數為ｐ，當ｐ｜ｉ時就可以

break

了。

這樣可以保證每乙個合數ｋ都是被ｋ／它那個最小的質因數篩掉的，證明如下：

假設乙個合數

k=m*p1，p1

為其最小的質因子。則

k只會在

i=m，

primelist[j]=p1

時被篩掉一次。

首先會在

i=m，

primelist[j]=p1

時被篩掉是顯然的。因為p1是

k的最小質因子，所以

i=m的所有質因子也≥

p1。於是

j迴圈在列舉到

primelist[j]=p1

前不會break

，從而一定會在

i=m，

primelist[j]=p1

時被篩掉

其次不會在其他時候被篩掉。假設k在

i=n, primelist[j]=p2

時被篩掉了，此時有

k=n*p2。由於

p1是k最小的質因子，所以

p2 > p1

，m > n

且p1|n(

因為p2|m,n/p1==m/p2)

。則i=n，j

列舉到primelist[j]=p1時(

沒到primelist[j]=p2)

就break

了。所以不會有其他時候篩掉k。

1 #include
2 #include3 #include4 #include5 #include6 #include7 #include
8 #include9 #include10 #include11 #include12 #include13 #include14
#define maxn 1000010
15using
namespace
std;
16bool
f[maxn];
17int
su[maxn];
18int
main()
1932
}33 printf("%d"
,num);
34return0;
35 }

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