篩法與質數表

給出乙個自然數表(1,2,…,n),要求盡可能快的找出其中的質數,應該怎麼做?

有兩種思路:一種是遍歷,乙個個找質數,一種是去掉所有的合數.那麼選擇哪一種呢?

不管怎樣,先來看看如何判定質數或者合數.

質數和合數的判定

質數和合數的定義在這不多講.為判斷是質數還是合數,最經典的方案就是遍歷小於該數的所有整數(除了1),如果出現整除,那就不是.

就像這樣:

while(i=2;i但這樣需要掃瞄n-1次,對於大數而言要花相當多的時間,顯然不是優解.那麼在這裡引入乙個定理: t he orem :∀x∈ z且x是合數∃1 ≤a≤x 使得a∣ x\\ \forall x\in\mathbb且\ x是合數\\ \exists 1\le a\leq \sqrt \\使得 a|x theore m:∀x ∈z且x 是合數∃ 1≤a≤ x使得 a∣x對該定理用反證法證明: p ro of:f or合數 x,∃整數對(a ,b), ab˙= x.(a !=0a ndb! =0)i fa nd b ab ˙ 原假設不成立.q .e.d \\ for 合數x,\\ \exists 整數對(a,b),a\dot b=x.(a!=0 and b!=0)\\ if a< \sqrt\ and\ b< \sqrt\\ \rightarrow a\dot b < x\\ \therefore 原假設不成立.\\ q.e.d proof: for合數x,∃ 整數對( a,b) ,ab˙ =x.( a!=0 andb !=0) ifaandb →ab˙ 原假設不成立.q .e.d 所以現在提出第乙個改進: 只用掃瞄到x \sqrt x即可判斷是否為質數. 篩法結合上一部分,下面提出乙個在自然數表中找出質數表的乙個改進方法: 在x \sqrt x範圍內找出質數; 清除這些質數的整數倍; 完成. 清除所有質數的整數倍⟺ 清除所有合數清除所有質數的整數倍\iff 清除所有合數清除所有質數的整數倍 ⟺清除所有合數二者是等價的嗎? 下面是解釋: 自然的,是乙個整數的整數倍的數一定是合數.所以若清除了所有的合數必然清除所有質數的整數倍.由此必要性得證. 下面是充分性: 先引入乙個定理: t he orem :∀x∈ n+x= ∏i=1 nai, ai∈n +且ai 是質數\\ \forall x \in\mathbb\\ x=\prod_^\ a_i,\\ a_i\in\mathbb且a_i是質數 theore m:∀x ∈n+x =i=1 ∏na i,a i∈n +且ai 是質數下面是證明: p ro of:對於質數a ,可分解為1a˙ ,成立. 對於合數 b,一定可以分解為∏i= 1nmi ,mi∈ n+對於 mi,若為質數, 則分解停止.若為合數,則按照上一條,可以分解為∏ i=1n mi′, mi′∈ n+以上過程均成立直到m ik均為質數 .對於質數a,可分解為1\dot a,成立.\\ 對於合數b,一定可以分解為\\ \prod_^\ m_i,m_i\in\mathbb\\ 對於m_i,若為質數,則分解停止.\\若為合數,則按照上一條,可以分解為 \prod_^\ m'_i,m'_i\in\mathbb\\ 以上過程均成立直到m^_i均為質數. proof: 對於質數 a,可分解為1a ˙,成立 .對於合數b,一定可以分解為i= 1∏n mi, mi∈ n+對於 mi, 若為質數 ,則分解停止.若為合數, 則按照上一條,可以分解為 i=1∏ nmi ′,m i′∈ n+以上過程均成立直到m ik均為質數. 於是∀ais 合數∃m is質數 m∣ a\forall a\ is\ 合數\\ \exists m\ is\ 質數\\ m|a\\ ∀ais合數 ∃mis 質數m∣ a充分性得證. 那麼:按照這個方法進行質數的篩選,有: for(a=1;a<=sqrt(x);a++) } else

}

就是這樣了.

篩法與質數表

質數中的質數（質數篩法）

普通質數篩法

質數線性篩法 O n

篩法與質數表

質數中的質數（質數篩法）

普通質數篩法

質數線性篩法 O n

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