求證cn
m≡∏i
=0kc
nimi
modp
其中m=
∑ki=
0mip
i ，n=
∑ki=
0nip
i p是質數。
首先，我們知道，n0
=nmodp，m
0=mmodp
那麼原式相當於求證cn
m≡c⌊
np⌋⌊
mp⌋∗
cnmodp
mmod
pmodp
這樣就可以歸納一發證明整個定理了。
首先我們知道，對於任意的質數p cn
p≡0modp，
(n≠0
或p)
這個式子是恆成立的。
那麼我們對於任意的乙個實數x有(x
+1)p
=∑i=
0pci
pxi
在模p意義下有(x
+1)p
≡(xp
+1)modp
ps:為了方便接下來的所有計算均在模p意義下進行。我們對於任意乙個整數m有 (x
+1)m
=(x+
1)⌊m
p⌋p∗
(x+1
)mmodp (
x+1)
m=(x
p+1)
⌊mp⌋
∗(x+
1)mmodp
二項式定理展開 ∑i
=0mc
imxi
=(∑i
=0⌊m
p⌋ci
⌊mp⌋
xpi)
(∑i=
0mmodpci
mmodpx
i)那麼等號左邊當i=n時，等號右邊唯一能組合出來x^n的就是x^(n\p*p)和x^(n mod p)
那麼係數乘積也就相等。
證畢。
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