在給出rn
中緊集的精確定義前，我們需要介紹一些術語。對於集合a⊂
rn，當且僅當存在乙個常數m≥
0 使得a⊂
d(0,
m)，那麼就稱該集合是有界的(bounded)，所以乙個集合被鄰域原點的某個鄰域d(
0,m)
包住時，它就是有界的；換句話說，對於所有的x∈
a,∥x
∥<
m 。 集合
a 的乙個覆蓋(cover)就是一系列集合ui
，他們的幷包含
a ；如果每個ui
是開的，那麼我們稱其為開覆蓋(open cover)。給定覆蓋的乙個子覆蓋(subcover) 是集合的子系列，他們的並也包含
a 或者說覆蓋
a；如果這個子系列只包含有限個集合，那麼我們成其為有限子覆蓋(finite subcover)。例如r2
中的鄰域
覆蓋實數軸，並且所有圓心為整數的鄰域d(
(n,0
),1)
是乙個子系列，它是乙個子覆蓋。注意，圓心為偶數的鄰域d(
(n,0
),1)
不是乙個子覆蓋。
注意：開覆蓋不一定是可數個開集。
我們現在陳述主要的定理以及相關的定義。定理
1 令a⊂
rn，那麼下面的條件是等價的：
a 是閉的且有界。
a的每個開覆蓋有乙個有限的子覆蓋。
a 中的每個序列都有乙個收斂的子串行，且收斂到
a中的點。 定
義1 r
n 中滿足定理1中條件
(i),(ii),(iii)
的子集稱為緊集(compact)。
(i),(ii)
的等價性經常被稱為海涅-博雷爾(heine-borel)定理，而
(i),(iii)
的等價性經常被稱為波爾查諾-魏爾斯特拉斯(bolzano-weierstrass)定理。
注意：對於度量空間，一般而言
(ii),(iii)
是等價的，當時
(i) 不等價於
(ii),(iii)
；對於任意的度量空間，我們可以用
(ii)
或(iii)
來定義緊集。
(i),
(ii)
和(i)
,(iii)
的等價性是rn
的特殊性質。
波爾查諾-魏爾斯特拉斯定理直觀上也比較好理解，如果
a 是有界的，那麼
a中的任何點序列在某個地方是一簇的，如果
a 是閉的，那麼簇擁的點必須位於a中。
海涅-博雷爾定理直觀上不太明顯，也許理解它最好的方式是考慮某些例子。例1
： 整個實數軸
r 不是緊的，因為它是無界的。注意 是r
的開覆蓋但沒有有限開覆蓋。例2
：令a=
(0,1
] ，考慮開覆蓋
。他們有開子覆蓋。這一次因為
a 不是閉的，所以條件
(ii)
失敗；點0不在集合
a 中。這個系列不是[0
,1]的覆蓋並且任何[0
,1] 的開覆蓋必須有有限個開覆蓋-上面的情況不可能存在這樣的結論。
條件(iii)
還有乙個等價的表述，在某些情況下是非常有用的。
(iii)
′ 對於
a 的每個無限子集，他們的聚點都在a中。
我們可以用閉集的方式來論述條件
(ii)
，這需要借助於
a 有限交的屬性，我們說集合ai
有有限交的性質(finite intersection property)，當且僅當任意有限個ai
的交不為空，那麼
(ii)
就等價於
(ii)
′ 。
(ii)
′ 所有滿足有限交性質的一系列閉集都有乙個包含
a 的非空交集。
我們會在附3的證明中看到，當
(ii)
用開覆蓋的補表示時，
(ii)
′ 與
(ii)
的陳述是一樣的。例3
： 確定下面集合的緊性
(a)
(b)[0,
1]∪[
2,3]
(c)
解：(a)不是緊集，因為它不是有界的。(b)緊集，因為它是閉集且有界。(c)不是緊集，因為它不是閉的。例4
： 令xk
是rn 中的點列且對所有的k,
∥xk∥
≤3，說明xk
有乙個收斂的子串行。解：
集合a=
是閉的且有界，因此是緊集。因為xk
∈a，我們應用定理1
(iii)
即可得出結論。例5
： 在定理1
(ii)
中，條件每個可以替換成某些嗎？解：
不能。令a=
r 並且考慮由單個開集
r 組成的開覆蓋，顯然它有乙個有限的子覆蓋，也就是它本身，當時
r是無界的，也就是說不是緊的。例6
： 令a=
∪ ，說明定理1的條件
(ii)
滿足。解：
令 是
a 的任意乙個開覆蓋，我們不惜說明它有乙個有限的子覆蓋。0位於某個開集中，我們說0∈
u1，因為u
1 是開集且1/
n→0 ，存在乙個
n 使得1/
n,1/
(n+1
),…位於
u1中，令1∈
u2,…
,1/(
n−1)
∈un ，那麼u1
,…,u
n 是乙個有限的子覆蓋，因為它是ui
的乙個有限子系列並且它包含
a 的所有點。注意如果
a是集合1,
1/2,
… ，那麼上面的論述就失效了。
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