正弦訊號 余弦訊號與復指數訊號(尤拉公式)

2021-07-26 05:44:19 字數 785 閱讀 4436

生活中不存在複數,但是《訊號與系統》《數字訊號處理》偏偏離不開復指數 e(

jwt)

,這就涉及到復指數在推導和運算時的一些重要性質,以及其與正弦余弦訊號的關係。

當指數訊號的指數因子是複數時,稱之為復指數訊號。其表示式為 f(

t)=k

est,

s=σ+

jw。根據尤拉公式,乙個復指數訊號可以分為實部和虛部兩部分(ei

θ=cosθ+i

sinθ

)。實部包含余弦訊號,虛部則是正弦訊號。{e

iθ=cosθ+

isinθe

−iθ=

cosθ−i

sinθ⇒⎧

⎩⎨⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

cosθ=e

iθ+e

−iθ2

sinθ=e

iθ−e

−iθ2

i 且有:|ej

wt|=

cos2

+sin2=

1 如果我們對乙個系統輸入復指數訊號,輸出必定也是復指數訊號,根據複數相等實部實部相等、虛部虛部相等的原則,那麼輸出的實部與輸入的實部:cos(wt)相對應;輸出的虛部與輸入的虛部:sin(wt)相對應。

這有乙個好處:輸入乙個復指數函式就同時解決了系統輸出的振幅和相位的問題:因為輸出的振幅等於響應實部的平方與虛部的平方和的開方;而輸出的相位等於響應虛部與實部的比值的反正切。對於線性控制系統輸入是正弦的輸出也是正弦的,且週期不變。

正弦訊號 余弦訊號與復指數訊號(尤拉公式)

生活中不存在複數,但是 訊號與系統 數字訊號處理 偏偏離不開復指數 e jwt 這就涉及到復指數在推導和運算時的一些重要性質,以及其與正弦余弦訊號的關係。當指數訊號的指數因子是複數時,稱之為復指數訊號。其表示式為 f t k est,s jw。根據尤拉公式,乙個復指數訊號可以分為實部和虛部兩部分 e...

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