正弦訊號余弦訊號與復指數訊號（尤拉公式）

生活中不存在複數，但是《訊號與系統》《數字訊號處理》偏偏離不開復指數 e(

jwt)

，這就涉及到復指數在推導和運算時的一些重要性質，以及其與正弦余弦訊號的關係。

當指數訊號的指數因子是複數時，稱之為復指數訊號。其表示式為 f(

t)=k

est,

s=σ+jw。

根據尤拉公式，乙個復指數訊號可以分為實部和虛部兩部分（ei

θ=cosθ+i

sinθ

）。實部包含余弦訊號，虛部則是正弦訊號。 {

eiθ=

cosθ+i

sinθe−

iθ=cosθ−

isinθ⇒

⎧⎩⎨⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪cosθ=

eiθ+

e−iθ

2sinθ=

eiθ−

e−iθ

2i且有： |

ejwt

|=cos2

+sin2=

如果我們對乙個系統輸入復指數訊號，輸出必定也是復指數訊號，根據複數相等實部實部相等、虛部虛部相等的原則，那麼輸出的實部與輸入的實部：cos（wt）相對應；輸出的虛部與輸入的虛部：sin(wt)相對應。

這有乙個好處：輸入乙個復指數函式就同時解決了系統輸出的振幅和相位的問題：因為輸出的振幅等於響應實部的平方與虛部的平方和的開方；而輸出的相位等於響應虛部與實部的比值的反正切。對於線性控制系統輸入是正弦的輸出也是正弦的，且週期不變。

正弦訊號 余弦訊號與復指數訊號（尤拉公式）