幾個重要的排列組合定理公式

1.排列的幾個定理公式

<1>.排列，一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個元素中取出m個元素的乙個排列(arrangement)。特別地，當m=n時，這個排列被稱作全排列(permutation)。

<2>.n個元素的迴圈r-排列的個數為上式除以r

迴圈，顧名思義，就是圍成一圈，規定乙個方向(順或逆)，轉一圈形成的為一種。如：若不圍一圈，12345678，78123456等共八個均不一樣，但圍成一圈後就一樣了，所以要除以r

注意：迴圈排列中，12345和54321不一樣，因為按照乙個規定的方向，他倆都無法通過旋轉成為對方的排列形式

<3>.多重集：

令s為乙個多重集，有k個不同型別的元素，各元素的重數為n1,n2,n3,......,nk。設s的大小為n=n1+n2+...+nk。則s的排列數為n!/(n1!*n2!*...*nk!)

<1> <2> 把每個個體看作是不同的，即使一樣的數字，如排列1和1兩個數，仍為1，1和1，1兩種。但<3> 把重複的元素看作乙個，如1和1的排列數有1，1一種

2.組合的幾個定理公式

<1>.從m個不同元素中，任取n(n≤m)個元素並成一組，叫做從m個不同元素中取出n個元素的乙個組合；從m個不同元素中取出n(n≤m)個元素的所有組合的個數，叫做從m個不同元素中取出n個元素的組合數。

此處把重複的元素也看做不同的

<2>.polya計數原理->用於染色問題

詳見acm p47頁

例題選講：以兩個藍橋杯題目為例

第一步：不考慮旋轉和映象，滿足的共120種情況

第二步：考慮旋轉，即利用1.<2>，除以5

第三步：考慮映象，因為每個位置填的數均不同，所以不存在對稱的填數方式，直接除以2

最後結果：12

此處轉動即旋轉，翻轉即映象

第一步：不考慮旋轉和映象，還有重複性，共12！種情況，即479001600

第二步：考慮重複性，除以3!*4!*5!，得27720

第三步：考慮旋轉，除以12，得2310

第四步：考慮映象，因為存在左右對稱的排列，所以先找出來。將1個a，1個c兩邊都隔5個，剩下2個a，4個b，4個c，兩邊對稱，即將abbcc排列，共5！/（2*2）=30種，則最後結果：30+(2310-30)/2，為1170種