最小二乘法多項式曲線擬合原理與實現

2021-07-27 15:54:12 字數 3341 閱讀 5192

最小二乘法多項式曲線擬合,根據給定的m個點,並不要求這條曲線精確地經過這些點,而是曲線y=f(x)的近似曲線y= φ(x)。

[原理部分由個人根據網際網路上的資料進行總結,希望對大家能有用]

給定資料點pi(xi,yi),其中i=1,2,…,m。求近似曲線y= φ(x)。並且使得近似曲線與y=f(x)的偏差最小。近似曲線在點pi處的偏差δi= φ(xi)-y,i=1,2,...,m。

常見的曲線擬合方法:

1.使偏差絕對值之和最小

2.使偏差絕對值最大的最小

3.使偏差平方和最小

按偏差平方和最小的原則選取擬合曲線,並且採取二項式方程為擬合曲線的方法,稱為最小二乘法。

推導過程:

1. 設擬合多項式為:

2. 各點到這條曲線的距離之和,即偏差平方和如下:

3. 為了求得符合條件的a值,對等式右邊求ai偏導數,因而我們得到了: 

.......

4. 將等式左邊進行一下化簡,然後應該可以得到下面的等式:

.......

5. 把這些等式表示成矩陣的形式,就可以得到下面的矩陣:

6. 將這個範德蒙得矩陣化簡後可得到:

7. 也就是說x*a=y,那麼a = (x'*x)-1*x'*y,便得到了係數矩陣a,同時,我們也就得到了擬合曲線。 實現

執行前提:

python執行環境與編輯環境;

matplotlib.pyplot圖形庫,可用於快速繪製2d圖表,與matlab中的plot命令類似,而且用法也基本相同。

**:

[python]view plain

copy

# coding=utf-8

'''''

程式:多項式曲線擬合演算法

'''import

matplotlib.pyplot as plt  

import

math  

import

numpy  

import

random  

fig = plt.figure()  

ax = fig.add_subplot(111

)  #階數為9階

order=9

#生成曲線上的各個點

x = numpy.arange(-1,1

,0.02

)  y = [((a*a-1

)*(a*a-

1)*(a*a-1)+

0.5)*numpy.sin(a*2) 

fora 

inx]  

#ax.plot(x,y,color='r',linestyle='-',marker='')

#,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"

#生成的曲線上的各個點偏移一下,並放入到xa,ya中去

i=0xa=  

ya=  

forxx 

inx:  

yy=y[i]  

d=float(random.randint(60

,140

))/100

#ax.plot([xx*d],[yy*d],color='m',linestyle='',marker='.')

i+=1

'''''for i in range(0,5):

xx=float(random.randint(-100,100))/100

yy=float(random.randint(-60,60))/100

ax.plot(xa,ya,color='m'

,linestyle=

'',marker=

'.')  

#進行曲線擬合

mata=  

fori 

inrange(

0,order+

1):  

mata1=  

forj 

inrange(

0,order+

1):  

tx=0.0

fork 

inrange(

0,len(xa)):  

dx=1.0

forl 

inrange(

0,j+i):  

dx=dx*xa[k]  

tx+=dx  

#print(len(xa))

#print(mata[0][0])

mata=numpy.array(mata)  

matb=  

fori 

inrange(

0,order+

1):  

ty=0.0

fork 

inrange(

0,len(xa)):  

dy=1.0

forl 

inrange(

0,i):  

dy=dy*xa[k]  

ty+=ya[k]*dy  

matb=numpy.array(matb)  

mataa=numpy.linalg.solve(mata,matb)  

#畫出擬合後的曲線

#print(mataa)

xxa= numpy.arange(-1

,1.06

,0.01

)  yya=  

fori 

inrange(

0,len(xxa)):  

yy=0.0

forj 

inrange(

0,order+

1):  

dy=1.0

fork 

inrange(

0,j):  

dy*=xxa[i]  

dy*=mataa[j]  

yy+=dy  

ax.plot(xxa,yya,color='g'

,linestyle=

'-',marker=

'')  

ax.legend()  

plt.show()  

執行效果: 

多項式曲線擬合最小二乘法

對給定的試驗資料點 xi,yi i 1,2,n 可以構造m次多項式 資料擬合的最簡單的做法就是使誤差p xi yi的平方和最小 當前任務就是求乙個p x 使得 從幾何意義上講就是尋求給與定點 xi,yi 距離的平方和最小的曲線y p x 函式p x 稱為擬合函式或者是最小二乘解,求擬合函式p x 的...

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