最小二乘法多項式曲線擬合，根據給定的m個點,並不要求這條曲線精確地經過這些點，而是曲線y=f(x)的近似曲線y= φ(x)。
[原理部分由個人根據網際網路上的資料進行總結，希望對大家能有用]
給定資料點pi(xi,yi)，其中i=1,2,…,m。求近似曲線y= φ(x)。並且使得近似曲線與y=f(x)的偏差最小。近似曲線在點pi處的偏差δi= φ(xi)-y，i=1,2,...,m。
常見的曲線擬合方法:
1.使偏差絕對值之和最小
2.使偏差絕對值最大的最小
3.使偏差平方和最小
按偏差平方和最小的原則選取擬合曲線，並且採取二項式方程為擬合曲線的方法,稱為最小二乘法。
推導過程：
1. 設擬合多項式為：
2. 各點到這條曲線的距離之和，即偏差平方和如下：
3. 為了求得符合條件的a值，對等式右邊求ai偏導數，因而我們得到了：
.......
4. 將等式左邊進行一下化簡，然後應該可以得到下面的等式：
.......
5. 把這些等式表示成矩陣的形式，就可以得到下面的矩陣：
6. 將這個範德蒙得矩陣化簡後可得到:
7. 也就是說x*a=y，那麼a = (x'*x)-1*x'*y，便得到了係數矩陣a，同時，我們也就得到了擬合曲線。實現
執行前提:
python執行環境與編輯環境；
matplotlib.pyplot圖形庫，可用於快速繪製2d圖表，與matlab中的plot命令類似，而且用法也基本相同。
**:
1執行效果:#coding=utf-8 23
'''''
4程式:多項式曲線擬合演算法
5'''
6import
matplotlib.pyplot as plt
7import
math
8import
numpy
9import
random
1011 fig =plt.figure()
12 ax = fig.add_subplot(111)
1314
#階數為9階
15 order=9
1617
#生成曲線上的各個點
18 x = numpy.arange(-1,1,0.02)
19 y = [((a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5)*numpy.sin(a*2) for a in
x] 20#
ax.plot(x,y,color='r',linestyle='-',marker='') 21#
,label="(a*a-1)*(a*a-1)*(a*a-1)+0.5"
2223
#生成的曲線上的各個點偏移一下，並放入到xa,ya中去
24 i=0
25 xa=
26 ya=
27for xx in
x:
28 yy=y[i]
29 d=float(random.randint(60,140))/100 30#
ax.plot([xx*d],[yy*d],color='m',linestyle='',marker='.')
31 i+=1
3435
'''''for i in range(0,5):
36xx=float(random.randint(-100,100))/100
37yy=float(random.randint(-60,60))/100
3839
'''40
41 ax.plot(xa,ya,color='
m',linestyle='',marker='.'
) 42
4344
#進行曲線擬合
45 mata=
46for i in range(0,order+1):
47 mata1=
48for j in range(0,order+1):
49 tx=0.0
50for k in
range(0,len(xa)):
51 dx=1.0
52for l in range(0,j+i):
53 dx=dx*xa[k]
54 tx+=dx
5556
5758
#print(len(xa)) 59#
print(mata[0][0])
60 mata=numpy.array(mata)
6162 matb=
63for i in range(0,order+1):
64 ty=0.0
65for k in
range(0,len(xa)):
66 dy=1.0
67for l in
range(0,i):
68 dy=dy*xa[k]
69 ty+=ya[k]*dy
7071
72 matb=numpy.array(matb)
7374 mataa=numpy.linalg.solve(mata,matb)
7576
#畫出擬合後的曲線 77#
print(mataa)
78 xxa= numpy.arange(-1,1.06,0.01)
79 yya=
80for i in
range(0,len(xxa)):
81 yy=0.0
82for j in range(0,order+1):
83 dy=1.0
84for k in
range(0,j):
85 dy*=xxa[i]
86 dy*=mataa[j]
87 yy+=dy
8889 ax.plot(xxa,yya,color='
g',linestyle='
-',marker=''
) 90
91ax.legend()
92 plt.show()
本文參考自
多項式曲線擬合最小二乘法
對給定的試驗資料點 xi,yi i 1,2,n 可以構造m次多項式 資料擬合的最簡單的做法就是使誤差p xi yi的平方和最小 當前任務就是求乙個p x 使得 從幾何意義上講就是尋求給與定點 xi,yi 距離的平方和最小的曲線y p x 函式p x 稱為擬合函式或者是最小二乘解，求擬合函式p x 的...
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