動態規劃之最優二叉搜尋樹

最優二叉搜尋樹簡介

舉例以及詳細分析

**塊測試結果

1、概念引入

基於統計先驗知識，我們可統計出乙個數表（集合）中各元素的查詢概率，理解為集合各元素的出現頻率。比如中文輸入法字型檔中各詞條（單字、片語等）的先驗概率，針對使用者習慣可以自動調整詞頻——所謂動態調頻、高頻先現原則，以減少使用者翻查次數。這就是最優二叉查詢樹問題：查詢過程中鍵值比較次數最少，或者說希望用最少的鍵值比較次數找到每個關鍵碼（鍵值）。為解決這樣的問題，顯然需要對集合的每個元素賦予乙個特殊屬性——查詢概率。這樣我們就需要構造一顆最優二叉查詢樹。

2、最優二叉搜尋樹

最優二叉查詢樹：

給定n個互異的關鍵字組成的序列k=(k1,k2,…,kn)，且關鍵字有序（k1小於k2小於…小於kn），我們想從這些關鍵字中構造一棵二叉查詢樹。對每個關鍵字ki，一次搜尋搜尋到的概率為pi。可能有一些搜尋的值不在k內，因此還有n+1個「虛擬鍵」d0,d1,…,dn，他們代表不在k內的值。具體：d0代表所有小於k1的值，dn代表所有大於kn的值。而對於i = 1,2,…,n-1,虛擬鍵di代表所有位於ki和ki+1之間的值。對於每個虛擬鍵，一次搜尋對應於di的概率為qi。要使得查詢乙個節點的期望代價（代價可以定義為：比如從根節點到目標節點的路徑上節點數目）最小，就需要建立一棵最優二叉查詢樹。

圖一顯示了給定上面的概率分布pi、qi，生成的兩個二叉查詢樹的例子。圖二就是在這種情況下一棵最優二叉查詢樹。

動態規劃法策略是將問題分成多個階段，逐段推進計算，後繼例項解由其直接前趨例項解計算得到。對於最優bst問題，利用減一技術和最優性原則，如果前n-1個節點構成最優bst，加入乙個節點an 後要求構成規模n的最優bst。按 n-1, n-2 , … , 2, 1 遞迴，問題可解。自底向上計算：c[1, 2]→c[1, 3] →… →c[1, n]。為不失一般性用

c[i, j] 表示由構成的bst的耗費。其中1≤i ≤j ≤n。這棵樹表示為tij。從中選擇乙個鍵ak作根節點，它的左子樹為tik-1，右子樹為tk+1j。要求選擇的k 使得整棵樹的平均查詢次數c[i, j]最小。左右子樹遞迴執行此過程。（根的生成過程）

遞推計算式如下：

基本演算法：

for (d = 1; d <= num - 1; d++)//d是[i,j]之間的距離

}r[i][j] = kmin;//記錄最優根

sum = p[i];

for (s = i + 1; s <= j; s++)

c[i][j] = temp + sum;}}

}void dptimalbstprint(int first, int last, int **r)

}int main(void)

float **c = (float **)malloc(sizeof(float *)*(num + 2));

for (i = 0; i < num + 2; i++)

int **r = (int **)malloc(sizeof(int *)*(num + 2));

for (i = 0; i < num + 2; i++)

dptimalbst(num, p, c, r);

printf("該最有二叉搜尋樹的期望代價為:%f\n", c[1][num]);

printf("構成的最優二叉查詢樹的中序遍歷結果為:");

動態規劃之最優二叉搜尋樹

動態規劃之最優二叉搜尋樹

動態規劃之最優二叉搜尋樹

動態規劃之最優二叉搜尋樹（演算法導論）

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