程式猿必修課之資料結構（二）演算法和演算法的複雜度

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演算法是解決特定問題求解步驟的描述，在計算機中表現為指令的有限序列，並且每條指令表示乙個或多個操作。

演算法具有五個基本特性：輸入、輸出、有窮性、確定性、可行性。

好的演算法，應該具有：正確性、可讀性、健壯性、高效率和低儲存量的特徵。

輸入規模 n 在沒有限制的情況下，只要超過乙個數值 n，這個函式就總是大於另乙個函式，我們稱函式是漸近增長的。

給定兩個函式 f(n) 和 g(n), 如果存在乙個整數 n，使得對於所有的 n > n, f(n) 總是比 g(n) 大，那麼我們說 f(n) 的增長漸近快於 g(n)。

在進行演算法分析時，語句總的執行次數 t(n) 是關於問題規模 n 的函式，進而分析 t(n) 隨 n 的變化情況並確定 t(n) 的數量級。演算法的時間複雜度，也就是演算法的時間量度，記作：t(n) = o(f(n))。它表示隨問題規模 n 的增大，演算法執行時間的增長率和 f(n) 的增長率相同，稱為演算法的漸近時間複雜度，簡稱為時間複雜度。其中 f(n) 是規模 n 的某個函式。

用 o() 來體現演算法時間複雜度的記法，叫作大 o 記法。

用常數 1 取代執行時間中的所有加法常數。

在修改後的執行次數函式中，只保留最高端項。

如果最高端項存在且不是 1 ，則去除與這個項相乘的常數。

高斯演算法

int sum = 0, n = 100;   // 執行 1 次
sum = (1 + n) * n / 2; // 執行 1 次
printf("%d", sum); // 執行 1 次

這個演算法的執行次數函式是 f(n) = 3。根據推導大 o 階的方法，第一步把常數項 3 改為 1。第二步保留最高端項，它沒有最高端項，所以這個演算法的時間複雜度為 t(n) = o(1)。

當 n = 1 時，演算法執行次數為 3，當 n = 100時，演算法的執行次數還是 3，所以我們可以看出這個演算法的執行次數與 n 的規模沒關係。我們把這種與問題的大小（n 的大小）無關，執行時間恆定的演算法，叫作常數階。

對於分支結構，無論是真還是假，執行的次數都是恆定的，不會隨著 n 的變化而變化，所以單純的分支結構（不包含在迴圈結構中），其時間複雜度也是 o(1)。

下面這段**的時間複雜度為 o(n),因為迴圈體中的**必須要執行 n 次。

int i;
for (i = 0; i < n; i++)

int count = 1;
while (count < n)

由於每次 count 乘以 2 以後，就越來越接近於 n，也就是說有多少個 2 相乘後大於 n，則會退出迴圈。由 2x = n 等到 x = log2n。所以這個演算法的時間複雜度為 t(n) = o(logn)。

這是乙個迴圈巢狀的**。

int i, j;
for (i = 0; i < n; i++) 
}

它的內迴圈我們已經知道，時間複雜度為 o(n)，而對於外層的迴圈，不過是內部這個時間複雜度為 o(n) 的語句，再迴圈 n 次。所以這段**的時間複雜度為 o(n2)

如果外迴圈的次數改為了 m，時間複雜度就變為 o(m*n)。

int i, j， m;
for (i = 0; i < m; i++) 
}

所以我們可以總結得出，迴圈的時間複雜度等於迴圈體的複雜度乘以該迴圈執行的次數。

下面這個迴圈巢狀，它的時間複雜度是多少呢？

int i, j;
for (i = 0; i < n; i++) 
}

由於當 i = 0 時，內迴圈執行了 n 次，當 i = 1 時，執行了 n -1 次，…… 當 i = n - 1 時，執行了 1 次。所以部的執行次數為：

n + (n-1) + (n-2) + …… + 1 = n(n+1)/2 = n2/2 + n/2。

用我們推導大 o 階的方法，第一條，沒有加法常數不考慮；第二條，只保留最高端項，因此保留 n2/2；第三條，去除這個項相乘的常數，也就是去除 1/2，最終這個演算法的時間複雜度為 t(n) = o(n2)

階非正式術語

o(1)

常數階o(n)

線性階o(n2)

平方階o(logn)

對數階o(nlogn)

nlogn階

o(n3)

立方階o(2n)

指數階

常用的時間複雜度所耗費的時間從小到大依次是：

o(1) < o(logn) < o(n) < o(nlogn) < o(n2) < o(n3) < o(2n) < o(n!) < o(nn)

演算法的空間複雜度通過計算演算法所需的儲存空間實現，演算法空間複雜度的計算公式：s(n) = o(f(n)),其中 n 為問題的規模，f(n)為語句關於 n 所佔儲存空間的函式。

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