乙個餘數問題的思考

剛剛在貼吧上看到乙個很簡單的演算法小問題，順便看到了很多人不同的思路。我覺得很有意思，所以也來研究一下。

問題如下：

一筐雞蛋：

1個1個拿，正好拿完。

2個2個拿，還剩1個。

3個3個拿，正好拿完。

4個4個拿，還剩1個。

5個5個拿，還差1個。

6個6個拿，還剩3個。

7個7個拿，正好拿完。

8個8個拿，還剩1個。

9個9個拿，正好拿完。

問：筐裡最少有幾個雞蛋？

題目很簡單，我們可以直接用暴力窮舉法。這當然是最簡單的辦法，下面是這種方法的kotlin**。執行之後，得到結果為1449。

fun answer1() 
n++}
println(n)
}

當然暴力窮舉雖然簡單，但是效率並不是很高，對於這個問題來說，迴圈執行了1449次。我們可以分析題目特點，簡化迴圈的執行次數。

首先來看看題目，很明顯第一句是廢話，因為任何正整數都可以被1整除。然後是第二句，這表明這個數是乙個奇數。第三句和第九句明顯重複，可以被9整除，那麼必然也可以被3整除，所以只看第九句就可以了。還有第五句需要注意一下，因為這裡是被5除還差1個，所以是還剩4個。我看貼吧裡有些人審題不嚴，導致做了乙個錯誤答案。

經過一番分析，上面的題目就變成了下面這樣的。

奇數能被9整除除以4餘1 除以5餘4 除以6餘3 能被7整除

除以8餘1

注意到7和9互質，所以答案必然是63的倍數，而且還是個奇數，所以是奇數倍。所以我們的**可以改進一下。**中的count用於統計迴圈次數，這次結果和上次一樣，但是迴圈次數僅為12次，每次要判斷的條件也減少了很多。

fun answer2
() n += 63 * 2
}println("n=$n,count=$count")
}

當然還可以進一步優化。由於這個數除以5餘4，可以想到該數的個位數字不是4就是9，但是由於是奇數，那麼個位數必然是9，而且這個數是63的倍數。而除以4餘1和除以8餘1這兩個條件可以簡化為除以8餘1。所以最後**就變成了這樣，迴圈僅僅迴圈了3次。

fun answer3
() n += 630
}println("n=$n,count=$count")
}

我還看到貼吧上有人說用同餘定理算，但是我比較笨，沒理解怎麼用同餘定理來計算。不過以前我倒是遇到過類似的題目，所以最後來介紹一下。

我遇到的題目類似下面這樣：

乙個數除以2餘1，除以3餘2，除以4餘3，這個數最小是幾？

這個問題倒是有乙個簡便方法，由於餘數恰好和除數只差1，所以如果在被除數上加1，那麼它就可以同時被2、3、4整除，所以這個數最小應該是2、3、4的最小公倍數再減1，所以應該是23 。

回到我們這道題目來說，由於餘數每次都不一樣，所以沒辦法這麼做。不過我想了想，能不能通過加乙個數，讓餘數都變得相同。由於我數學不好，也不懂數論這些專業知識，所以直接用**模擬一下，發現確實可以得到乙個數，讓答案加上這個數以後，所有餘數都相同。這個數是1071，這時候餘數都是0 。kotlin**如下。

fun cal() 
val set = numbers.values.toset()
if (set.size == 1) 
}println("這個數是:$n")
}

有了這個數，我們就可以用上面的方法來計算結果了。答案加上1071之後，可以被2-9的所有數整除，所以2-9的最小公倍數再減去1071，就是我們要求的答案。而2-9的最小公倍數也就是5-9的最小公倍數，是2520，再減去前面的1071，正好就是最一開始我們得到的答案1449！

如果大家有更好的思路，也可以告訴我，讓我們互相學習，共同進步！

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