次小生成樹

最小生成樹與次小生成樹

我們都知道要求最小生成樹有兩種方法可求，分別是prim演算法和kruskal演算法

1.prim演算法

設圖g =（v，e），其生成樹的頂點集合為u。

①、把v0放入u。

②、在所有u∈u，v∈v-u的邊(u，v)∈e中找一條最小權值的邊，加入生成樹。

③、把②找到的邊的v加入u集合。如果u集合已有n個元素，則結束，否則繼續執行②。

2.kruskal演算法

首先將所有邊按邊權排序,然後按照邊權從小到大依次處理.這裡要用到並查集的思想,假設已有點集u,現在正在處理邊i->j,如果i,j已在

u中則處理下一條邊,否則將i,j加入並查集中.繼續處理下一條邊,直到有n-1條邊為止.

3 次小生成樹

次小生成樹可由最小生成樹換一條邊得到

演算法:1)先用prim求出最小生成樹t,在prim的同時,用乙個矩陣max[u][v]記錄在樹中連線u-v的路徑中權值最大的邊.

2)列舉所有不在t中的邊u-v,加入邊u-v,刪除權值為max[u][v]的邊,不斷列舉找到次小生成樹.

下面給出次小生成樹的模板

#include#include#includeusing namespace std;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int g[110][110],dist[110],mmax[110][110]; ///g儲存地圖 dist儲存從起點到其餘各點的距離 maxn儲存從i到j的最大邊權值
int pre[110]; ///pre儲存j的離它最近的是哪個點
bool mark[110]; ///相當於vis 用來標記該點是否已經用過
bool connect[110][110]; ///儲存i-j的那條邊是否加入了最小生成樹 false 加入 true 沒有
int mst,mint; ///mst儲存最小生成樹的權值和
int n,m;
int prim()
dist[1]=0;
mark[1]=true;
for(i=1;immax[j][fa])?mmax[fa][p]:mmax[j][fa];
for(j=1;j<=n;j++)}}
return res;
}int main()
mst=prim();
int i,j;
bool flag=false;
for(i=1;i<=n;i++)
for(j=1;j<=n;j++)
}if(flag)
printf("not unique!\n");
else
printf("%d\n",mst);
}return 0;
}

下面來一道題練練手

題意：題目大意：

有n個城市，秦始皇要修用n-1條路把它們連起來，要求從任一點出發，都可以到達其它的任意點。秦始皇希望這所有n-1條路長度之和最短。然後徐福突然有冒出來，說是他有魔法，可以不用人力、財力就變出其中任意一條路出來。

秦始皇希望徐福能把要修的n-1條路中最長的那條變出來，但是徐福希望能把要求的人力數量最多的那條變出來。對於每條路所需要的人力，是指這條路連線的兩個城市的人數之和。

最終，秦始皇給出了乙個公式，a/b，a是指要徐福用魔法變出的那條路所需人力， b是指除了徐福變出來的那條之外的所有n-2條路徑長度之和，選使得a/b值最大的那條。

分析與總結

為了使的a/b值最大，首先是需要是b盡量要小，所以可先求出n個城市的最小生成樹。然後，就是決定要選擇那一條用徐福的魔法來變。

因此，可以列舉每一條邊，假設最小生成樹的值是minmst, 而列舉的那條邊長度是w[i][j], 如果這一條邊已經是屬於最小生成樹上的，那麼最終式子的值是a/(minmst-w[i][j])。如果這一條不屬於最小生成樹上的，那麼新增上這條邊，就會有n條邊，那麼就會使得有了乙個環，為了使得它還是乙個生成樹，就要刪掉環上的一棵樹。為了讓生成樹盡量少，那麼就要刪掉除了加入的那條邊以外，權值最大的那條路徑。假設刪除的那個邊的權值是path[i][j], 那麼就是a/(minmst-path[i][j]).

解這題的關鍵也在於怎樣求出次小生成樹。

ac**：

#include #include #include #include #include #define inf 0x3f3f3f3f
#define max 1010
using namespace std;
double map[max][max], dis[max], maxn[max][max]; ///map陣列儲存地圖 dis儲存從起點到其他點的距離 maxn儲存i到j的最大權值
int pre[max], vis[max];
bool used[max][max];
int n;
struct edge
edge[max];
double cal(edge a, edge b)
double prim()
vis[1] = 1;
int k;
for(int i = 1; i < n; i++)
}if(minn == inf) return -1;
vis[k] = 1;
ret+=minn;
father = pre[k];
used[father][k] = used[k][father] = 1;
maxn[father][k] = minn;
for(int j = 1; j <= n; j++)
for(int j = 1; j <= n; j++)}}
return ret;
}int main()
map[i][i] = 0;
}for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int i = 1; i <= n; i++)
}double ans = prim();
double ans1 = -1;
for(int i = 1; i<= n; i++)}}
printf("%.2lf\n",ans1);
}return 0;
}

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