1.飯後，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗過的碗乙個乙個地放進碗櫥摞成一摞。一共有n個不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也許因為小妹貪玩而使碗拿進碗櫥不及時，姐姐則把洗過的碗摞在旁邊，問：小妹摞起的碗有多少種可能的方式？
2.給定n個數，有多少種出棧序列？
3.乙個有n個1和n個-1組成的字串，且前k個數的和均不小於0，那這種字串的總數為多少？
這三個問題具有相同的結構，三個問題是可以互相轉化。將姐姐放碗看做入棧操作，將妹妹放碗看做出棧操作。則問題一變為問題二。將入棧操作記為1，出棧記為-1，問題2變為問題3。
問題的答案是乙個著名的數列，卡特蘭數。該問題的代數解法比較抽象，而運用到幾何上，用來描述，卻有讓人恍然大悟的感覺。
事實上，可以認為問題是，任意兩種操作，要求每種操作的總次數一樣，且進行第k次操作2前必須先進行至少k次操作1。我們假設乙個人在原點，操作1是此人沿右上角45°走乙個單位（乙個單位設為根號2，這樣他第一次進行操作1就剛好走到（1,1）點），操作2是此人沿右下角45°走乙個單位。第k次操作2前必須先進行至少k次操作1，就是說明所走出來的折線不能跨越x軸走到y=-1這條線上！在進行n次操作1和n此操作2後，此人必將到到達（2n，0）！若無跨越x軸的限制，折線的種數將為c（2n，n），即在2n次操作中選出n次作為操作1的方法數。
現在只要減去跨越了x軸的情況數。對於任意跨越x軸的情況，必有將與y=-1相交。找出第乙個與y=-1相交的點k，將k點以右的折線根據y=-1對稱（即操作1與操作2互換了）。可以發現終點最終都會從（2n，0）對稱到（2n，-2）。由於對稱總是能進行的，且是可逆的。我們可以得出所有跨越了x軸的折線總數是與從（0,0）到（2n,-2）的折線總數。而後者的操作2比操作1要多0-（-2）=2次。即操作1為n-1,操作2為n+1。總數為c（2n，n-1）。
證明 卡特蘭數（折線法）
卡特蘭數能夠解決的問題類似出棧順序問題，對於乙個有兩種操作1,2 且1,2操作分別有n次的序列必須嚴格保證操作1的次數在任意前k k z 個操作中始終不小於操作2的次數，這種操作的方案數就是卡特蘭數c 2n,n n 1 我們可以用折線的方式去證明卡特蘭數 在笛卡爾座標系中，令x軸表示當前第幾次操作，...
折線法 卡特蘭數證明
1.飯後，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗過的碗乙個乙個地放進碗櫥摞成一摞。一共有n個不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也許因為小妹貪玩而使碗拿進碗櫥不及時，姐姐則把洗過的碗摞在旁邊，問 小妹摞起的碗有多少種可能的方式？2.給定n個數，有多少種出棧序列？3.乙個有n個1和n個 1組成的字串，且前k個數的和均不小於...
卡特蘭數，高精度卡特蘭數
簡單介紹 卡特蘭數是組合數學中常常出現的乙個數列。個人認為不管是遞推公式還是代表的含義都比斐波那契數列難理解一些。遞推公式 應用 1.cn表示長度2n的dyck word的個數。dyck word是乙個有n個x和n個y組成的字串。且全部的字首字串皆滿足x的個數大於等於y的個數。下面為長度為6的dyc...