最小生成樹Prim演算法理解

2021-08-05 18:40:28 字數 4061 閱讀 2775

mst(minimum spanning tree,最小生成樹)問題有兩種通用的解法,prim演算法就是其中之一,它是從點的方面考慮構建一顆mst,大致思想是:設圖g頂點集合為u,首先任意選擇圖g中的一點作為起始點a,將該點加入集合v,再從集合u-v中找到另一點b使得點b到v中任意一點的權值最小,此時將b點也加入集合v;以此類推,現在的集合v=,再從集合u-v中找到另一點c使得點c到v中任意一點的權值最小,此時將c點加入集合v,直至所有頂點全部被加入v,此時就構建出了一顆mst。因為有n個頂點,所以該mst就有n-1條邊,每一次向集合v中加入乙個點,就意味著找到一條mst的邊。

用圖示和**說明:

初始狀態:

設定2個資料結構:

lowcost[i]:表示以i為終點的邊的最小權值,當lowcost[i]=0說明以i為終點的邊的最小權值=0,也就是表示i點加入了mst

mst[i]:表示對應lowcost[i]的起點,即說明邊是mst的一條邊,當mst[i]=0表示起點i加入mst

我們假設v1是起始點,進行初始化(*代表無限大,即無通路):

lowcost[2]=6,lowcost[3]=1,lowcost[4]=5,lowcost[5]=*,lowcost[6]=*

mst[2]=1,mst[3]=1,mst[4]=1,mst[5]=1,mst[6]=1,(所有點預設起點是v1)

明顯看出,以v3為終點的邊的權值最小=1,所以邊=1加入mst

此時,因為點v3的加入,需要更新lowcost陣列和mst陣列:

lowcost[2]=5,lowcost[3]=0,lowcost[4]=5,lowcost[5]=6,lowcost[6]=4

mst[2]=3,mst[3]=0,mst[4]=1,mst[5]=3,mst[6]=3

明顯看出,以v6為終點的邊的權值最小=4,所以邊=4加入mst

此時,因為點v6的加入,需要更新lowcost陣列和mst陣列:

lowcost[2]=5,lowcost[3]=0,lowcost[4]=2,lowcost[5]=6,lowcost[6]=0

mst[2]=3,mst[3]=0,mst[4]=6,mst[5]=3,mst[6]=0

明顯看出,以v4為終點的邊的權值最小=2,所以邊=4加入mst

此時,因為點v4的加入,需要更新lowcost陣列和mst陣列:

lowcost[2]=5,lowcost[3]=0,lowcost[4]=0,lowcost[5]=6,lowcost[6]=0

mst[2]=3,mst[3]=0,mst[4]=0,mst[5]=3,mst[6]=0

明顯看出,以v2為終點的邊的權值最小=5,所以邊=5加入mst

此時,因為點v2的加入,需要更新lowcost陣列和mst陣列:

lowcost[2]=0,lowcost[3]=0,lowcost[4]=0,lowcost[5]=3,lowcost[6]=0

mst[2]=0,mst[3]=0,mst[4]=0,mst[5]=2,mst[6]=0

很明顯,以v5為終點的邊的權值最小=3,所以邊=3加入mst

lowcost[2]=0,lowcost[3]=0,lowcost[4]=0,lowcost[5]=0,lowcost[6]=0

mst[2]=0,mst[3]=0,mst[4]=0,mst[5]=0,mst[6]=0

至此,mst構建成功,如圖所示:

根據上面的過程,可以容易的寫出具體實現**如下(cpp):

[cpp]view plain

copy

print?

#include

#include

using

namespace std;  

#define max 100

#define maxcost 0x7fffffff

int graph[max][max];  

int prim(int graph[max], int n)  

mst[1] = 0;  

for (i = 2; i <= n; i++)  

}  cout <

<

<

<

sum += min;  

lowcost[minid] = 0;  

for (j = 2; j <= n; j++)  

}  }  return sum;  

}  int main()  

}  //構建圖g

for (k = 1; k <= n; k++)  

//求解最小生成樹

cost = prim(graph, m);  

//輸出最小權值和

cout <

<

system(」pause」);  

return 0;  

}  

#include
#includeusing namespace std; #define max 100 #define maxcost 0x7fffffff int graph[max][max]; int prim(int graph[max], int n) mst[1] = 0; for (i = 2; i <= n; i++) } cout << "v" << mst[minid] << "-v" << minid << "=" << min << endl; sum += min; lowcost[minid] = 0; for (j = 2; j <= n; j++) } } return sum; } int main() } //構建圖g for (k = 1; k <= n; k++) //求解最小生成樹 cost = prim(graph, m); //輸出最小權值和 cout << "最小權值和=" << cost << endl; system("pause"); return 0; }

input:

[plain]view plain

copy

print?

6 10  

1 2 6  

1 3 1  

1 4 5  

2 3 5  

2 5 3  

3 4 5  

3 5 6  

3 6 4  

4 6 2  

5 6 6  

6 10

1 2 6

1 3 1

1 4 5

2 3 5

2 5 3

3 4 5

3 5 6

3 6 4

4 6 2

5 6 6

output:

[plain]view plain

copy

print?

v1-v3=1  

v3-v6=4  

v6-v4=2  

v3-v2=5  

v2-v5=3  

最小權值和=15  

請按任意鍵繼續. . .  

v1-v3=1

v3-v6=4

v6-v4=2

v3-v2=5

v2-v5=3

最小權值和=15

請按任意鍵繼續. . .

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