2 演算法複雜度度量

1.時間複雜度

特定演算法處理規模為n的問題所需要的時間可記作t(n)，嚴格來說這個定義並不明確。為此需要做進一步簡化，即從保守估計的角度出發，在規模為n的所有輸入中選擇執行時間最長者作為t(n),並以t(n)度量該演算法的時間複雜度。

2.漸進複雜度

著重長遠、更為注重時間複雜度的總體變化趨勢和增長速度的策略與方法，即所謂的漸進分析（asymptotic analysis）。那麼，針對足夠大的輸入規模n，演算法執行時間t(n)的漸進增長速度應該如何評價和度量？引入以下幾個符號。

2.1大o記號（

big-o）

出於保守估計，我們首先關注t(n)的漸進上屆。為此可引入所謂「大o記號」（

big-o）。具體地，若存在正的常數c和函式f(n)，使得對任何n>>2都有

則可認為在n足夠大之後，f(n)給出了t(n)增長速度的乙個漸進上界。此時記之為：

由這一定義，可以匯出大o記號的以下性質：

(1)對於任一常數c>0，有

(2)對於任意常數a>b>0，有

「最壞情況複雜度」是人們關注且使用最多的。

2.2大ω記號（

big-omega）

為了對演算法的最好情況做出估計，需要借助另乙個符號。如果存在正的常數c和函式g(n)，使得對於任何n>>2都有

就可以認為，在n足夠大之後，g(n)給出了t(n)的乙個漸進下屆。此時我們記之為：

這裡的ω稱作「大ω記號」。與大o記號恰恰相反，大ω記號是對演算法執行效率的樂觀估計——對於規模為n的任意輸入，演算法的執行時間都不低於ω(g(n))。比如在最好的情況下，起泡排序也至少需要t(n)=ω(n)的計算時間。

2.2大θ記號（big-theta）

借助大o記號和大ω記號可以對演算法的時間複雜度做出定量的界定，亦即，從漸進的趨勢看，t(n)界於ω(g(n))和o(f(n))之間。恰巧出現g(n)=f(n)的情況，可以使用另一記號來表示。

如果存在正的常數c1>2都有

就可以認為在n足夠大之後，h(n)給出了t(n)的乙個確界。此時，我們記之為：

t(n)=θ(h(n))

這裡的θ稱作「大θ記號」，它是對演算法複雜度的準確估計——對於規模為n的任何輸入，演算法的執行時間t(n)都與θ(h(n))同階。