曾在uva上看到一道題：
uva766冪之和
對於正整數k，可以定義k次方和： sk
(n)=
∑ni=
1ik
可以把它寫成下面的形式。當m取最小可能的正整數時，所有係數ai
都是確定的。 sk
(n)=
1m(a
k+1n
k+1+
aknk
+...
+a1n
+a0)
輸入 k(
0<=
k<=20)
，輸出m,
ak+1
,ak,
...,
a1,a
0 ，輸出6,2,3,1,0。
乍一看，這題簡直就是道求數學公式的水題嘛，記得當時是注意到公式會比普通式子高一次，於是用k+1次去差分得到k次式，再將這些k次式相加，中間就包含了需要求的原式。搭配著二項式倒著遞推，最後稍加處理就得到了公式。
現在想來，方法還有點多啊。和式這個話題，已經不少見了，積分這個話題，我們也不少見了。同樣是累加求和，區別僅僅是乙個建立在有限上，另乙個建立在無限上，這會有多大區別嗎？
x2，那麼上圖染色部分分別是f(
x)函式[0,3]上的積分與[0,3]上和與積分的差。我們稱這種誤差為e，用en
表示[0,n]區間上的誤差，即圖中綠色部分的面積。我們嘗試著將積分區間化： en
=∑nk
=1(k
2−∫k
x=k−
1x2d
x) e
n=∑n
k=1k
−13
en=n
22+n
6 帶回
原式得：
∑nk=
1k2=
n33+
n22+
n6另外一種方法是定義有限微積分，一種與微積分相對應的工具。 f′
(x)=
limu
−>0f
(x+u
)−f(
x)u
對應的引入差分
δ ： δf
(x)=
f(x+
1)−f
(x)1
=f(x
+1)−
f(x)
我們需要尋找更多相同的性質。我們定義一種新的運算xμ
− 表示下降階乘冪，即x(
x−1)
...(
x−m+
1)，同理我們可以定義xμ
¯ 表示上公升階乘冪，即x(
x+1)
...(
x+m−
1)。 在微積分中，我們有(x
μ)′=
μxμ−
1 同樣，我們可以發現δ(
xμ−)
=(x+
1)m−
−−xm
−−=m
xm−1
−−−
接下來轉到積分，即之前的逆運算，我們仍然能得到： ∑f
(x)δ
x=f(
x)+c
其中c在差分時被消掉了。將區間的意義賦給它，有 ∑b
af(x
)δx=
f(b)
−f(a
) 但是，唯一需要注意的一點就是∑b
a 的意義。這與定積分並不完全一致，因為定積分分段dx
−>
0 ，而這個為1.因此必定是半開半閉區間。不難發現是
a<=
k<
b 。
現在，有了這些工具，我們可以嘗試著求解x3
求和問題。我們只知道下降階乘冪在有限微積分中的意義。我們嘗試著分解。不難發現，k3
=k3−
+3k2
−+k1
− 這不就是剛才推導出來的嗎？還有許多式子也能像這樣分解，從而簡單求解。這就是其魅力所在。
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