首先簡略回顧一下，全概率和貝葉斯。其實這兩者是密不可分的，互相之間是乙個順序問題，全概率反過去就是貝葉斯，這類問題只需要區分清楚是知道原因求結果，還是知道結果尋原因就可以了。全概率公式是計算由諸多原因而導致的某件複雜事情發生的概率，而貝葉斯就是在這件複雜的事情已經發生的前提下，去尋找諸多原因中，某一原因發生的概率。
全概率公式：
在由n個不相交的bi事件組成的樣本空間s，其中i = 1,2,3,4,......，n 且 p(bi) > 0，任意事件a發生的概率為 :
貝葉斯公式：
在由n個不相交的bi事件組成的樣本空間s，其中i = 1,2,3,4,......，n 且 p(bi) > 0，在事件a發生的條件下，事件bi發生的概率為 :
從數字1, 2, 3, 4中任取乙個數，記為x，再從1——x中任取乙個數，記為y，則p(y=2)=？
分析：其實這道題就很明顯屬於乙個複雜的結果，我們用全概率公式的方式來嘗試解決一下。
首先設事件p(y=2)為事件p(a),那麼樣本空間s就是由1、2、3、4四個數字組成的「完備事件組」，並且在這裡是等概事件，所以p(bi) = 1/4，並且我們讓i下標與數字一一對應，也就是p(b1)就是1作為x被選擇的物件的概率。此時我們就需要確定p(a|bi)的值了：
當x = 1：從1當中選出2的概率很明顯為0，所以p(a|b1) = 0;
當x = 2：從1和2當中選出2的概率為1/2，所以p(a|b2) = 1/2；
當x = 3：從1、2、3當中選出2的概率為1/3，所以p(a|b3) = 1/3;
當x = 4：從1、2、3、4當中選出2的概率為1/4，所以p(a|b4) = 1/4;
接下來我們就可以利用全概率公式求得
p(a) = p(b1)p(a|b1) + p(b2)p(a|b2) +p(b3)p(a|b3) +p(b4)p(a|b4)
==>p(a) = 0 + (1/4)*(1/2) + (1/4)*(1/3) + (1/4)(1/4) = 13/48
==>p(y=2) = 13/48。
12件產品中有4件次品，在先取1件的情況下，任取2件產品皆為**，求先取1件為次品的概率。
分析：讀完題目後，最關鍵的話就是「在先取1件的情況下，任取2件產品皆為**」，很明顯這是乙個已經發生了的事件，是乙個結果，我們需要去尋因，所以使用貝葉斯來計算沒有問題。那麼接下來就是把題目中的描述與公式進行意義匹配了，首先來看這個已經發生的結果，我們設為p(a)，在貝葉斯公式當中，p(a)表示的就是那個全概率事件了，樣本空間s就是取出一件產品後再取兩件產品，這時候有兩種情況：
情況1：
第一件取出的產品是**，那麼剩下的11件產品中有4件次品，7件**。我們設這種情況的事件為p(a1)那麼任取兩件為**的概率就是：
p(a1) = p(第一次是**)p(剩下的11件中任取兩個**) = p(第一次是**)（(7件**中選兩件) / (11件中取兩件) )
==>p(a1) = (8/12)*( c(2,7)/c(2,11) ) = (2/3)*((7*6)/(11*10)) = 14/55；
注：c(n,m)，其中n為上標，m為下標。代表數學中排列組合的情況，輸入不變，以這種形式表示。
情況2：
第一件取出的產品是次品，那麼剩下的11件產品中有3件次品，8件**。我們設這種情況的事件為p(a2)那麼任取兩件為**的概率就是：
p(a2) = p(第一次是次品)p(剩下的11件中任取兩個**) = p(第一次是次品)（(8件**中選兩件) / (11件中取兩件) )
==>p(a2) = (4/12)*( c(2,8)/c(2,11)) = (1/3)*((8*7)/(11*10)) = 28/165；
所以事件p(a) = p(a1) + p(a2) = 16/33。
結果已經有了，那麼所求的是什麼呢？文字描述就是p(第一次取得是次品 | 在先取1件的情況下，任取2件產品皆為**)《這裡我們假設第一次取得次品得事件為「b次」，那麼用公式表示就是p(b次|a)。
根據貝葉斯公式以及全概率公式
、p(b次|a) = p(a|b次)p(b次) / p(a)
其中p(a) = 21/55，p(b次) = 1/3，p(a|b次) = p(a2)/p(第一次是次品) = 28/55
==> p(p(b次|a)) = ((28/55)*(1/3)) / (16/33) = 2/5。
牢記全概率和貝葉斯的定義，結合例項理解他們各自的含義，這類問題通常就是尋找樣本空間，完備事件組，搞清楚誰是原因，誰是結果，解決起來也就得心應手了。
貝葉斯 01 初識貝葉斯
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