只需證明任意三角形內，任一角的邊與它所對應的正弦之比值為該三角形外接圓直徑即可。
現將△abc，做其外接圓，設圓心為o。我們考慮∠c及其對邊ab。設ab長度為c。
1.若∠c為直角，則ab就是⊙o的直徑，即c= 2r。
∵ sin c = 1
（特殊角正弦函式值） ∴ c
sinc
=2r
2.若∠c為銳角或鈍角，過b作直徑bc'交 ⊙o於c，連線c』a，顯然bc』= 2r=r。
若∠c為銳角，則c』與c落於ab的同側，
此時∠c』=∠c（同弧所對的圓周角相等）
∴在rt△abc』中有 as
inc′
=asi
na= 2r
若∠c為鈍角，則c』與c落於ab的異側，bc的對邊為a，此時∠c』=∠a，亦可推出 as
inc′
=asi
na=2
r 考慮同乙個三角形內的三個角及三條邊，同理，分別列式可得 as
ina=
bsin
b=cs
inc=
2r=r
故對任意三角形，定理得證。
兩個問題：
同弧所對圓周角相等
同弧所對圓心角是圓周角的2倍，而一條弧所對圓心角只有乙個，所以同弧所對圓周角相等。參見（圓周角定理：一條弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半。這一定理叫做圓周角定理。（圓周角與圓心角的關係））
直角所對圓周角為90度
已知在⊙o中，∠boc與圓周角∠bac同對弧bc，求證：∠boc=2∠bac.
證明：
情況1：
如圖1，當圓心o在∠bac的一邊上時，即a、o、b在同一直線上時：
∵oa、oc是半徑
解：∴oa=oc
∴∠bac=∠aco（等邊對等角）
∵∠boc是△aoc的外角
證明：
情況1：
如圖1，當圓心o在∠bac的一邊上時，即a、o、b在同一直線上時：
∵oa、oc是半徑
解：∴oa=oc
∴∠bac=∠aco（等邊對等角）
∵∠boc是△aoc的外角
情況2：
如圖2,，當圓心o在∠bac的內部時：
連線ao，並延長ao交⊙o於d
∵oa、ob、oc是半徑
解：∴oa=ob=oc
∴∠bad=∠abo，∠cad=∠aco（等邊對等角）
∵∠bod、∠cod分別是△aob、△aoc的外角
∴∠bod=∠bad+∠abo=2∠bad(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）
∠cod=∠cad+∠aco=2∠cad(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）
情況3：
如圖3，當圓心o在∠bac的外部時：
連線ao，並延長ao交⊙o於d連線oa,ob。
解：∵oa、ob、oc、是半徑
∴oa=ob=oc
∴∠bad=∠abo（等腰三角形底角相等）,∠cad=∠aco(oa=oc）
∵∠dob、∠doc分別是△aob、△aoc的外角
∴∠dob=∠bad+∠abo=2∠bad(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）
∠doc=∠cad+∠aco=2∠cad(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和）
∴∠boc=∠doc-∠dob=2(∠cad-∠bad)=2∠bac
圓心角等於180度的情況呢？
看情況1的圖，圓心角∠aob=180度，圓周角是∠acb，
顯然因為∠oca=∠oac=∠boc/2
∠ocb=∠obc=∠aoc/2
所以∠oca+∠ocb=（∠boc+∠abc）/2=90度
所以2∠acb=∠aoc
圓心角大於180度的情況呢？
看情況3的圖，圓心角是（360度-∠aob），圓周角是∠acb，
只要延長co交圓於點e，由圓心角等於180度的情況可知∠cae=∠cbe=90度
所以∠acb+∠aeb=180度，即∠acb=180度-∠aeb
由情況2可知：∠aob=2∠aeb
所以360度-∠aob=2（180度-∠aeb）=2∠acb
推論：
1.一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半；
2.圓周角的度數等於它所對的弧度數的一半；
3.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；相等的圓周角所對的弧也相等。
4.半圓（直徑）所對的圓周角是直角。
5.90°的圓周角所對的弦是直徑。
注意：在圓中，同一條弦所對的圓周角有無數個。
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