方程求根 二分法 不動點迭代 牛頓法 弦截法

方程求根：二分法--不動點迭代--牛頓法--弦截法

1.問題概述

許多複雜的求解問題，都可以轉換成方程f(x)=0的求解問題。這一系列的解叫做方程的根。對於非線性方程的求解，在自變數範圍內往往有多個解，我們將此變化區域分為多個小的子區間，對每個區間進行分別求解。我們在求解過程中，選取乙個近似值或者近似區間，然後運用迭代方法逐步逼近真實解。

2.理論與方法

1.二分法（bisection method）

首先假定乙個初始區間[a,b]，函式f(x)=0,在此區間上連續。f(a)*(b)<0，說明在此區間至少存在乙個實根。考察有根區間[a,b],取中點x0=(a+b)/2將它劃分為兩半，然後進行根的搜尋，即檢查f(x0)與f(a)是否同號；如果確係同號，說明所求的根x在x0的右側，這時令a1=x0,b1=b;否則x必在x0的左側，這時令a1=a,b1=x0(如圖2-1所示)。不管出現哪一種情形，新的有根區間[a1,b1]的長度僅為[a,b]的一半，通過一步一步的二分操作，逐步靠經精確解。

由於這是粗略的估計，最終很難得到乙個準確解，所以只能求出乙個靠近真實解的，所以我們應該在求解的開始時候確定乙個誤差，當迭代n次過後滿足|x-xn|<=誤差 。同時我們可以求出迭代次數n=

⌈log2((b-a)/2*

誤差)⌉

int n = ceil(log2(b - a) - log2(2 * atol));

for (int i = 0; i求實根最簡單有效的方法：二分法。易於在計算機上實現，且對於函式f(x)的性質要求不高，僅僅要求它在有根區間上連續，且區間端點的函式值異號即可。它的缺點是不能求偶數重根，也不能求復根，收斂速度與以1/2為公比的等比數列相同，不算太快，因此一般在求方程近似根時，不太單獨使用，常用它來為其他方法求方程近似根提供好的初值區間（重要：初值區間的確定直接決定求解的速度）。
2.不動點迭代（fixed point iteration）

將所求的非線性方程 f(x)=0 化為乙個同解方程： x=g(x)  同時g(x)為連續函式
首先，取一初始值x0代入上式，得到：
x1=g(x0)
x2=g(x1)
… …

xk+1=g(xk)  k=0,1,2,… …
n次迭代滿足精度要求，此方法為簡單的非線性迭代法。
注意：選取g(x)時，應當首先確定是否在取值區間收斂，否則不能求出根。
double x1 = x0 - f(x0) / f1(x0);
while (abs(x1 - x0)>0.0001)

最易於理解的方法：迭代法。對於迭代法，構造合適的迭代函式g(x)至關重要，它影響著迭代數列的收斂性（重要）。而且若要使不動點迭代收斂，則要求g(x)在區間[a,b]上的函式值也在此區間內，因此對初值的要求較高，需要提供較為近似的初始值x0.大多數情況下需要考慮迭代法的區域性收斂性，在方成根的附近取初值。

3.牛頓法(newton』s method)

考察一般形式的函式方程f(x)=0,首先運用校正技術建立迭代公式，設已知它的近似根xk,則自然要求校正值x(k+1)=xk+∆x

能更好的滿足所給方程,即

f(xk+∆

x)≈0，

將其左端用線性主部f(xk)+f』(xk)* ∆x

代替,而令

f(xk)+f』(xk)*

∆x=0

這是關於增量∆x

的線性方程，據此定出

∆x=-f(xk)/f』(xk)

從而關於校正值x(k+1)=xk+∆x

有如下計算公式：

x(k+1)=xk-f(xk)/f』(xk)

這就是著名的牛頓公式。

newton

法的突出優點是速度快，但它有個明顯的缺點是每一步迭代需要提供導數值f』(xk),如果函式f(x)比較複雜，致使導數的計算比較困難，那麼使用牛頓公式是不方便的。

while (abs(x1 - x0)>0.0001)

通常最高效的方法：牛頓法。它是求解方程f(x)=0的一種重要方法，它的最大優點是方程在單根附近具有較高的收斂速度，且演算法邏輯簡單。它還可以用於求代數方程的重根、復根。但是由於牛頓法是區域性收斂的，它的收斂性依賴於初值x0的選取。並且每一步迭代除了需要計算f(xk)外，還需要計算f(xk)的導數，當f(x)比較複雜時（缺點明顯），該方法是不方便的。

4.弦截法(secant method)

設f(x)在某個範圍內改變不大，近似取某個定值m，即

f』(x)≈m

那麼，牛頓公式中的導數值可以用定數m來近似的取代，而將其簡化成迭代公式

x(k+1)=xk-f(xk)/m

這種簡化的牛頓方法也稱作平行線法，其幾何意義是：用一族平行線取代切線逼近所求的根x.該方法形式簡單，但其收斂性往往不能保證，因而實用價值不大.

為避開導數的計算，也可用差商(f(xk)-f(x0))/(xk-x0)替換牛頓公式中的導數f』(x0),得到以下離散化形式：

x（k+1）=xk-f(xk)/( f(xk)- f(x0))*(xk=x0)          (1)

容易看出，該公式是根據f(x)=0的等價形式

迭代公式的幾何解釋如圖所示，記曲線y=f(x)上橫座標為xk的點為pk,則差商(f(xk)-f(x0))/(xk-x0)表示弦線p0pk的斜率.容易看出，按照式(1)求得的x(k+1)實際上是弦線p0pk與x軸的交點，因此這種方法稱作弦截法。

while (abs(x2 - x1) > 0.001)

避開複雜運算的方法：弦截法。它避開了導數計算，但在收斂方面付出了不可低估的代價。弦截法是區域性收斂的，僅有線性收斂速度，收斂速度比牛頓法慢，不用求導是它的優勢（優點突出）。

end

方程求根二分法

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方程求根的二分法和迭代法

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