接上，
演算法導論 13.2 旋轉
當在某個結點
x x
上做 左旋 時，假設它的右孩子是
y' role="presentation" style="position: relative;">y
y而不是 t.
nil t.n
il; x x
可以為其右孩子不是 t.
nil' role="presentation" style="position: relative;">t.n
ilt.
nil結點的樹內任意結點。左旋以 x 到 y 的鏈為」支軸」進行。它使 y 成為該子樹新的根結點，
x x
成為 y' role="presentation" style="position: relative;">y
y的左孩子，
y y
的左孩子成為
x' role="presentation" style="position: relative;">x
x的右孩子。
課後習題：
13. 2-1 寫出 right_rotate 的偽**
right_rotate(t, y)
13. 2-2 證明：在任何一棵樹有
n n
個結點的二叉搜尋樹中，恰有 (n
−1)' role="presentation" style="position: relative;">(n−
1)(n
−1)次可能的旋轉。
proof: 顯然任意一對父子結點唯一確定一種旋轉，又除根結點以外，所有結點均有乙個父節點。
13. 2-3
13. 2-4 證明：任何一棵含有
n n
個結點的二叉搜尋樹可以通過 o(
n)' role="presentation" style="position: relative;">o(n
)o(n
)次旋轉，轉變為其他任何一棵含有
n n
(n−1)
' role="presentation" style="position: relative;">(n−
1)(n
−1)次右旋足以將樹變為一條右側伸展的鏈。)
proof: 定義 右鏈 為從根開始不斷向右的鏈，
從最右點開始，迴圈直至根結點：
如果 x
x
有左孩子，右旋，
' role="presentation" style="position: relative;">
退回 x
x
； ' role="presentation" style="position: relative;">
如果 x x
沒有左孩子，
x' role="presentation" style="position: relative;">x
x向上；
觀察這個操作，易知：每一次右旋都將乙個元素加入右鏈，命題得證。
2-5 如果能夠用一系列的 right_rotate 呼叫把乙個二叉搜尋樹 t1t1
變為二叉搜尋樹 t2t2
，則稱 t1t1
可以右轉(right-converted)成 t2t2
。試給出乙個例子表示兩棵樹 t1t1
和 t2 t
2，其中 t1t1
不能右轉成 t2t2
。然後，證明：如果 t1t1
可以右轉成 t2t2
，那麼它可以通過 o(
n2) o(n
2)次 right_rotate 呼叫來實現右轉。
proof: 記
s s
為所有內部結點的 (右子數量 - 左子數量) 之和。下證：
s' role="presentation" style="position: relative;">s
s隨右旋嚴格遞增。
考察乙個右旋操作：
除了 x x
和 y' role="presentation" style="position: relative;">y
y，其他結點對
s s
並無貢獻，
' role="presentation" style="position: relative;">
考察 s
s的增量 δs
=((1
+|β|
+|γ|
−|α|
)−(|
β|−|
α|))
+((|
γ|−|
β|)−
(|γ|
−1−|
α|−|
β|))
=2+|α|
+|γ|
>
1' role="presentation" style="position: relative;">δs=
((1+
|β|+
|γ|−
|α|)
−(|β
|−|α
|))+
((|γ
|−|β
|)−(
|γ|−
1−|α
|−|β
|))=
2+|α
|+|γ
|>1δ
s=((
1+|β
|+|γ
|−|α
|)−(
|β|−
|α|)
)+((
|γ|−
|β|)
−(|γ
|−1−
|α|−
|β|)
)=2+
|α|+
|γ|>
1
另一方面，
s s
的上限是 o(
n2)' role="presentation" style="position: relative;">o(n
2)o(
n2)，即得。
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