前面我們討論得到了狹義相對論的的洛倫茲變換。在此基礎上介紹狹義相對論的背景時空。
簡單運算就會知道狹義相對論的時空不是歐幾里得時空,根據洛倫茲變換有： t2
+s2=
(tx)
(tx)
=(sy
)11−
v2−−
−−−√
(1vv
1)11
−v2−
−−−−
√(1v
v1)(
sy)=
1+v2
1−v2
(s2+
y2)≠
s2+y
2 顯然在歐幾里得時空中，洛倫茲變換下距離不是不變的，狹義相對論的背景時空不是歐幾里得空間。
根據黎曼幾何，線元長度可表示為：ds
2=gi
jdxi
dxj
設g為狹義相對論空間的度規矩陣,洛倫茲變換l,以及洛倫茲變換下距離不變: g≡
(g11g
21g12g
22)l≡
11−v
2−−−
−−√(
1vv1
)g=l
glt
可以求得g；g≡
(a00
−a)
即：ds2
=a(d
t2−d
x2);
a≠0
簡單起見令a=
1 以上討論，我們將空間侷限在1維上，實際上空間是三維的，三維空間與一維時間合併在一起就是4維時空。空間分量度規應當相同，因此狹義相對論的時空的流形的度規可以表示為：ds
2=dt
2−dx
21−d
x22−
dx23
稱為閩科夫斯基時空，ds稱為時空間隔。
狹義相對論是物理學，應當賦予時空物理意義。
首先，(t,
x1,x
2,x3
) 是時空中的乙個點，具有唯一的時間和地點，因此代表時空中的乙個事件（event）. 兩點(
t0,x
01,x02
,x03)
(t1,
x11,x
12,x13
) 之間的」距離」， s2
=(t0
−t1)
2−(x
01−x01
)2−(
x02−x
12)2−
(x03−
x13)2
s時空間隔是兩個時間之間的「距離」，在座標變換下是不變的，這是個絕對量。
簡單起見，下文仍然只討論一維時間和一維空間。2.2 世界線
時空中的一條曲線，代表某個質點在時空中的運動軌跡，稱為世界線。世界線相交，交點代表乙個相遇事件。在慣性系中，某個靜止不動的質點，其速度為零，因此其運動軌跡是t=
t,x=
a 在閔氏時空中是一條直線。任意乙個勻速直線運動的質點，其運動軌跡是t=
t,x=
vt在閔氏時空中仍然是一條直線。在閔氏時空中慣性觀者的世界線是一條直線(反之不成立，因為有直線可能是超光速的，比如同時面)。
2.3 類時曲線、固有時
當時空中的曲線，處處有速率v(
t)=d
x/dt
<
1 時，即代表運動速度小於光速時，必有(1
−v2(
t))>
0 ，此時時空間隔ds
2=dt
2−dx
2=(1
−v2(
t))d
t2>
0 ,曲線可以求得線長：s=
∫t0(
1−v2
(t))
−−−−
−−−−
√dt 具有時間意義，稱為曲線為類時曲線，線長稱為沿該曲線運動粒子的本徵時間或者固有時。
2.3.1 時鐘同步
假設某個慣性觀者a（做慣性運動的觀察者），以這個慣性觀者建立座標系，則慣性觀者的世界線為: t=
t,xi
=0考察其空間間隔： ds
2=dt
2→s=
∫t0d
t=t 可見時空間隔代表其流逝時間，記為ta
=t。
假設有一質點b，在慣性觀者的座標系中做慣性運動，速度為v;
則有其世界線為，vt
=x；v
<
1 ，這個時候必有代入時空度規有: ds
2=dt
2−dx
2=(1
−v2)
dt2→
sb=∫
t0(1
−v2)
−−−−
−−−√
dt=(
1−v2
)−−−
−−−−
√t可見，在慣性觀者a看來，b 點在0到t時間內，b的運動時間為t，時空間隔為tb
=(1−
v2)−
−−−−
−−√t
b也是慣性運動，在b看來如何呢？根據洛倫茲變換有：(s
y)=1
1−v2
−−−−
−√(1
−v−v
1)(t
x)在時空中a座標系中三個事件e0
=(0,
0),e
1(t,
0)和e
2(t,
vt) ;用b的本徵座標系來看，座標分別是：(0,0),(t
1−v2
√,−v
t1−v
2√) 和
((1−
v2)−
−−−−
−−√t
,0)
可見，a看b在[0,t]時間內運用的時空間隔，(1
−1/v
2)−−
−−−−
−−√t
在b看來就是自己走過的時間；在b來看a的時空間隔sa
=∫t1
−v2√
0(1−
v2)−
−−−−
−−√d
t=t
限定上面討論的三個事件，從上面的討論可以看出：如下圖，黑色代表a慣性系及該系下的事件座標，紅色代表b慣性系及該系下的事件座標。1. 從固有時來看，a流逝的時間是t，b流逝的時間是(1
−v2)
−−−−
−−−√
t ,這一結論與座標系無關。
2. 在a看來e1
,e2 是同一時刻發生的兩件事，但是自己的時間流逝了t,b的時間只流逝了(1
−1/v
2)−−
−−−−
−−√t
，因此b 的時間走得慢；
3. 在b看來，e1
發生在t1
−v2√
時刻,而e2
發生在時刻(1
−v2)
−−−−
−−−√
t ,兩個事件發生的時間不相同。
不管是從哪個座標系來看，固有時是不變的，而且相對運動的質點的走時率不一樣，乙個參考係認為時間同步的，另乙個座標系則時間是不同步的，走時率與時鐘同步依賴於座標系。
2.4 類光曲線與光子的固有時
光子的速率是1，當v(
t)=d
x/dt
≡1是，曲線稱為類光曲線，此時時空間隔為： ds
2=dt
2−dx
2=(1
−v2(
t))d
t2≡0
光子的世界線的引數線長是0，光子固有時恒為零，光子的同時面與世界線重合並且正交。
2.5 類空曲線當v
(t)=
dx/d
t>
1 是，曲線稱為類空曲線，此時時空間隔為： ds
2=dt
2−dx
2=(v
2(t)
−1)d
x2<0
有此可得引數線長為虛數，因此對於類空曲線，我們可定義引數線長為:l=
∫x01
−(dt
/dx)
2−−−
−−−−
−−−√
dx 當
v(t)
=dx/
dt=∞
時，δt=
0→t=
c ,此時(d
t/dx
)=0 因此有：l=
∫x01
−0−−
−−√d
x=x
可見其物理意義類似空間距離，類空直線是某個慣性系的同時面。
狹義相對論
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