據說這倆是小學奧數內容？完了我菜成一團沒上過小學
本文只研究正整數
a a
的約數個數和約數和。首先對
a' role="presentation" style="position: relative;">a
a分解質因數a=
∏inp
aii(
pi是質
數)a =∏
inpi
ai(p
i是質數
)先看結論 nu
m=∑i
n(ai
+1) num
=∑in
(ai+
1)
考慮對於
a a
的任意乙個約數
a' role="presentation" style="position: relative;">a
a，都顯然存在唯一的數列a′
a
′使 a=
∏inp
a′ii
(0≤a
′i≤a
i)a =∏
inpi
ai′(
0≤ai
′≤ai
)由唯一分解定理得，每乙個符合條件的數列a′
a
′都對應
a a
的乙個約數，反之亦然。由乘法原理得共有(a
1+1)
∗(a2
+1).
..∗(
an+1
)' role="presentation" style="position: relative;">(a1
+1)∗
(a2+
1)..
.∗(a
n+1)
(a1+
1)∗(
a2+1
)...
∗(an
+1)種數列a′
a
′，得證。
同樣先看結論： su
m=∏i
=1n∑
j=0a
ipji
s um
=∏i=
1n∑j
=0ai
pi
j首先考慮n=
1 n=1
的情況，即a=
pa(p
是質數)
a =p
a(p是
質數
)，顯然約數和是∑a
i=0p
i ∑i=
0api
當n>
1 n
>
1，如果已知了x=
a/pa
nnx =a
/pna
n的約數和su
m′s um
′，如何求
a a
的約數和su
m' role="presentation" style="position: relative;">sum
sum呢？
顯然，給每個
x x
的約數x′
' role="presentation" style="position: relative;">x′x
′均乘上每乙個pi
n(0≤
i≤an
) pni
(0≤i
≤an)
，就構成了
a a
的約數集合。那麼就得到 su
m=∑(
x′∗∑
i=0a
npni
)' role="presentation">sum
=∑(x
′∗∑i
=0an
pin)
sum=
∑(x′
∗∑i=
0anp
ni)由乘法分配律得到 su
m=su
m′∗∑
i=0a
npin
s um
=sum
′∗∑i
=0an
pn
i又由當n=
1 n=1時s
um=∑
ai=0
pis um
=∑i=
0api
遞推得到最終的結論。
約數個數定理and約數和定理
定理 對於乙個大於1正整數n可以 分解質因數 則n的正約數 的個數就是 證明 省略 舉個栗子 例題 正整數378000共有多少個 正約數？解 將378000 分解質因數378000 2 4 3 3 5 3 7 1 由約數個數定理可知378000共有正約數 4 1 3 1 3 1 1 1 160個。c...
約數個數定理 約數和定理
1 如果我們要求乙個數的所有因數的個數會怎麼去求呢？首先想到最簡單的方法就是暴力求解就可以。當然資料小 或者測試資料少就很簡單就可以過了。2 如果求乙個區間內的數的所有因數的個數呢？或者求乙個區間內的數的因數最大的數以及最大的因數 正因數 的個數？這樣的話，資料大一些，組數多一些，可能就要tle，所...
約數個數定理 約數和定理
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