例題
通常情況下，模運算有加法、乘法，減法的分配率，即： (a
+b)%
m=(a
%m+b
%m)%
m (a+
b)%m
=(a%
m+b%
m)%m
(a−b)%m
=(a%
m−b%
m)%m
( a−
b)%m
=(a%
m−b%
m)%m
(a×b)%m
=(a%
m×b%
m)%m
( a×
b)%m
=(a%
m×b%
m)%m
（模運算為最高端運算，負數不考慮= =）
但是有除法怎麼辦？顯然ab
%m≠a
%mb%
m ab%
m≠a%
mb%m
，需要用逆元將其變為乘法，然後使用分配率。若a
b≡1(
modm
) ab≡
1(mo
dm
),則稱
a a
與b' role="presentation">bb在模
m m
的情況下互為逆元。 記b
=a−1
' role="presentation">b=a
−1b=
a−1，所以
b b
又叫a' role="presentation">a
a的數論倒數。
需要用到費馬小定理：若
p p
為質數（顯然
a' role="presentation">aa與
p p
互質），則ap
−1≡1
(mod p)
' role="presentation">ap−
1≡1(
modp
)ap−
1≡1(
modp
)，所以ap
−2a p−
2就是
a a
在模p' role="presentation">p
p的情況下的乙個逆元，由模乘法的分配率得ap
−2%m
a p−
2%m也是
a a
的乙個逆元，用快速冪求得即可（一般題目中的模數都是質數）。設c
=b−1
' role="presentation">c=b
−1c=
b−1，則
bc%m
=1b c%
m=1（
m m
不可能為
1' role="presentation">1
1），所以有：ab
%m=a
b∗1%
m=ab
×bc%
m=ac
%m=a
⋅b−1
%ma b%
m=ab
∗1%m
=ab×
bc%m
=ac%
m=a·
b−1%
m求出b b
的逆元就能處理模運算中的除法了。
atcoder - 1974·いろはちゃんとマス目 / iroha and a grid
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