01揹包問題

動態規劃演算法一般用來求解最優化問題，當問題有很多可行解，而題目要求尋找這些解當中的「最大值」/「最小值」時，通常可以採用dp。

輸入

n=4(w,v)=
w=5----------
輸出7

（1）有兩種可能:選或者不選；（2）使用遞迴，在遍歷完n個數的時候，判斷價值最大。

int rec(int i,int j)

else
if(j//無法挑選這個物品
res=rec(i+1,j);
}else
return res;
}

記dp[i][j]為根據rec的定義，直接利用遞推式和二重迴圈計算出各項的值

for(int i=n-1;i>=0;i--)

}

dp[i+1][j]=dp[i][j];  (j

dp[i+1][j]=max(dp[i][j],dp[i][j-w[i]]+v[i]); (其他)

dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);

/*該問題可以描述為 「將前 i 件物品放入容量為 j 的揹包中」；
問題可以轉換為「只考慮第 i 件物品的策略（放或不放）」，
如果不放第 i 件物品，那麼問題就轉化為 「前 i-1 件物品放入容量為 j 的揹包中」;
如果放第 i 件物品，那麼問題就轉化為「前 i − 1 件物品放入剩下的容量為 v − w[i] 的揹包中」;此時獲得的最大價值就是 dp[i-1][j-w[i]]+v[i]
*/

//time: o(nw) memory: o(nw)

public
static
void
main(string args)
int w = in.nextint();
int dp = new
int[n+1][w+1];
for (int i = 1; i <= n; i++) 
}system.out.println(dp[n][w]);
}

次迴圈結束後 dp[w] 中表示的就是我們定義的狀態 dp[i,w] 呢？ dp[i,w] 是由 dp[i-1 ,w] 和

dp[i − 1,w-w[i] ] 兩個子問題遞推而來，能否保證在推 dp[i,w] 時（也即在第 i 次主迴圈中

推 dp[w] 時）能夠取用 dp[i − 1,w] 和 dp[i − 1,w− w[i] ] 的值呢？

事實上，這要求在每次主迴圈中我們以 重量 w 遞減順序計算 dp[w] ，這樣才

能保證計算 dp[w] 時 dp[w− w[i] ] 儲存的是狀態 dp[i − 1, w − w[i]] 的值。

//time: o(nw) memory: o(w)

public
static
void
main(string args)
int dp = new
int[w+1];
for (int i = 1; i <= n; i++) 
}system.out.println(dp[w]);
}

要求「恰好裝滿揹包」時的最優解，有的題目則並沒有要求必須把揹包裝滿。一種區別

這兩種問法的實現方法是在初始化的時候有所不同。

如果是第一種問法，要求恰好裝滿揹包，那麼在初始化時除了 f[0] 為 0 ，其它

f[1..v ] 均設為 −∞ ，這樣就可以保證最終得到的 f[v ] 是一種恰好裝滿揹包的最優解。

如果並沒有要求必須把揹包裝滿，而是只希望**盡量大，初始化時應該將 f[0..v ]

全部設為 0 。

題目：給定兩個字串s1s2…sn和t1t2…tn;求出這兩個字串的最長公共子串行的長度。

輸入

n=4m=4
s="abcd"
t="becd"
----------
輸出3（"bcd"）

/*

問題可以轉換為 「s中的前i個字元與t中的前j個字元的公共子串行長度dp[i][j]」；
如果當前s[i]==t[j],那麼問題就轉變為 「s中的前i-1個字元與t中的前j-1個字元的公共子串行長度 dp[i-1][j-1]+1 」；
如果不相等，那麼問題的轉變就有兩種可能性；
（1）s中的前i個字元與t中的前j-1個字元的公共子串行長度dp[i][j-1]；
（2）s中的前i-1個字元與t中的前j個字元的公共子串行長度dp[i-1][j]；
最大公共子串長度問題就是：

求兩個串的所有子串中能夠匹配上的最大長度是多少。
比如："abcdkkk" 和 "baabcdadabc"，
可以找到的最長的公共子串是"abcd",所以最大公共子串長度為4。
//動態規劃

public
class main}}
return max;
}public
static
void
main(string args)
}
 
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