完全揹包問題講解（dp）

此題之前先分析兩種常見的揹包問題，01揹包與完全揹包

01揹包：在m件物品中取出若干件物品放到揹包中，每件物品對應的體積v1,v2,v3,….對應的價值為w1,w2,w3,,,,，每件物品之多拿一件。

解決方案

考慮用動態規劃的方法來解決，這裡的：

階段是：在前n件物品中，選取若干件物品放入揹包中；　　狀態是：在前n件物品中，選取若干件物品放入所剩空間為w的揹包中的所能獲得的最大價值；

決策是：第n件物品放或者不放；

由此可以寫出動態轉移方程：

我們用f[i,j]表示在前 i 件物品中選擇若干件放在所剩空間為 j 的揹包裡所能獲得的最大價值

f[i,j]=max <1>

這個方程非常重要，基本上所有跟揹包相關的問題的方程都是由它衍生出來的。所以有必要將它詳細解釋一下：「將前i件物品放入容量為v的揹包中」這個子問題，若只考慮第i件物品的策略（放或不放），那麼就可以轉化為乙個只牽扯前i-1件物品的問題。如果不放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入容量為v的揹包中」，價值為f[v]；如果放第i件物品，那麼問題就轉化為「前i-1件物品放入剩下的容量為v-c的揹包中」，此時能獲得的最大價值就是f[v-c]再加上通過放入第i件物品獲得的價值w。

可優化成一維陣列的表示式

for(i=1;i<=m;++i) <2>

for(v=v;v>=0;v–)

if(v>=c[i])

f[v]=max;

這裡一定要注意次序，如果第二個for迴圈依次增大，則不能與<1>等價，因為f[v],f[v-c]的值不是類似於f[i-1][v],f[i-1][v-c]，不信自己可以舉例試試，比如2個物品，體積為2,4；價值為1,3；如果順序，定會出現錯誤。

最優解法—o(vn)

for i=1..n

for j=0..v

f[j]=max

你會發現，這個偽**與01揹包的偽**只有v的迴圈次序不同而已。為什麼這樣一改就可行呢？

首先想想為什麼01揹包中要按照v=v..0的逆序來迴圈。這是因為要保證第i次迴圈中的狀態f[v]是由狀態f[v-c]遞推而來。換句話說，這正是為了保證每件物品只選一次，保證在考慮「選入第i件物品」這件策略時，依據的是乙個沒有已經選入第i件物品的子結果f[v-c]。

而現在完全揹包的特點恰是每種物品可選無限件，所以在考慮「加選一件第i種物品」這種策略時，卻正需要乙個可能已選入第i種物品的子結果f[v-c]，所以就可以並且必須採用v=0..v的順序迴圈。這就是這個簡單的程式為何成立的道理。

這個演算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的狀態轉移方程可以等價地變形成這種形式：

f[j]=max

將這個方程用一維陣列實現，便得到了上面的偽**。

procedure completepack(c,w)

for j=c..v

f[j]=max總結

完全揹包問題也是乙個相當基礎的揹包問題，它有兩個狀態轉移方程，分別在「基本思路」以及「最優解法—o(vn)」的小節中給出。希望你能夠對這兩個狀態轉移方程都仔細地體會，不僅記住，也要弄明白它們是怎麼得出來的，最好能夠自己想一種得到這些方程的方法。

事實上，對每一道動態規劃題目都思考其方程的意義以及如何得來，是加深對動態規劃的理解、提高動態規劃功力的好方法。希望在你看完這篇文字後，會有所啟發。

完全揹包：

有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。

第i種物品的體積是c，價值是w。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的體積總和不超過揹包容量，且價值總和最大。這裡不同之處是每件物品可無限取，這裡就產生了很多可行的優化，比如同體積的有多種物品，則必然可以捨棄價值小的，也可以捨棄體積大於v的。

基於以上理解在來解決這道題。

直接說題意，完全揹包定義有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的體積是c，價值是w。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的體積總和不超過揹包容量，且價值總和最大。本題要求是揹包恰好裝滿揹包時，求出最大價值總和是多少。如果不能恰好裝滿揹包，輸出no

輸入

第一行： n 表示有多少組測試資料（n<7）。

接下來每組測試資料的第一行有兩個整數m，v。 m表示物品種類的數目，v表示揹包的總容量。(0輸出

對應每組測試資料輸出結果（如果能恰好裝滿揹包，輸出裝滿揹包時揹包內物品的最大價值總和。如果不能恰好裝滿揹包，輸出no）

樣例輸入

1 52 2

2 52 2

5 1

樣例輸出 no1

這裡唯一不同的是揹包如果不能完全裝滿，則輸出no，這裡需要乙個技巧，就是初始化時f[0],其餘的均為-max，只有這樣最大值為正時，只能通過f[0]在相加其他價值得到，如

揹包體積為4時，一種物品體積2，價值2；

則 f[0]=0; f[1]=-max; f[2]=max(f[2],f[0]+w[i])=2; 注意若揹包不需要全部裝滿時，f[3]本該為2的，但此時f[3]=max(f[3],f[1]+2)=max(f[3],2-max)=2-max; 負無窮

這樣應該明白了吧~

ac**：


#include
#include
#include
#include
using
namespace
std;
int f[
50010], c[
2010], w[
2010];
intmain
() 
}

完全揹包問題講解（dp）

DP之完全揹包問題

完全揹包dp

DP完全揹包

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完全揹包dp

DP完全揹包

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