引：
最近在搞乙個音訊解碼器，將隨意錄製好的聲音按照不同的頻率分離出不同的音訊流，然後推到不同的音箱中，如果再考慮一下音場的諧性，那就是乙個n.1聲道的解碼系統了。我只是想在女兒(或者兒子)出生之前為她做點事情，以便能最終做出個東西送給她(或者他)。
在實踐的過程中，遇到了傅利葉變換，作文以記之。最終我會匯出乙個很常用的變換-傅利葉變換
參考：
訊號：
訊號是乙個很廣義的概念，它可以是一種波，也可以是乙個陣列，它還可以是乙個函式，它甚至是整個世界，總之只要能運載資訊，它就可以被稱為訊號 。我們可以去分析乙個訊號，以獲得訊號本身更多的屬性，從而可以更好的獲得資訊。比如，我們發現了諧波訊號，我們就可以用波的理論去構造複雜的復合訊號，典型就是頻分復用。
欲想理解訊號，我們首先要學會將其分解，將之分解成不同的元素，如果這些元素之間互不相關，我們就可以對其分而治之了，分而解之了。我們需要有乙個信念，那就是所有的訊號都是可分解的，我們必須明白這個複雜的世界其實是由很多次複雜的小世界疊加而成的，每乙個次複雜的小世界都是由更簡單的次次複雜的小小世界疊加而成的，諸如此類，以此類推，最終的元素就是質子和電子(如果不想提夸克或者弦理論的話)。如果我們有了這個信念，我們就可以將乙個訊號分解成不同的訊號的疊加。
比如乙個物理概念，力，按照作用效果來說，它可以被分解在不同的兩個方向，如果這兩個方向互相垂直的話，那麼乙個方向的分力在另乙個方向上沒有效果，我們說這兩個方向是正交的，當然，正交是乙個數學概念。同樣的道理，乙個函式，如果我們將它當成乙個向量的話，我們也可以將之分解，關鍵問題是我們基於什麼去分解它，在《分碼多重進接(cdma)的本質-正交之美》中，我們知道了正交多維向量的概念，如果我們能找到一組正交的向量，我們就可以將乙個函式基於這組向量進行分解。
尋找正交向量：
對於訊號，如果我們想用諧波來表示它的話，我們最好基於不同的頻率將之進行分解，那麼接下來的問題就是尋找乙個正交基，它可以表示不同的頻率的諧波。換句話說，我們希望用不同頻率的諧波的疊加來表示原始函式。我們也就是尋找一組函式i，使得下列正交條件成立：
由於簡諧波本身可以表示成三角函式，通過分析三角函式，我們發現下面的i函式系列滿足正交條件：
表示：
既然有了表示方法，接下來就是確定a，b等係數了，這些係數其實就是f(x)在各個相互正交的三角函式「座標軸」上的分量，由於它們彼此都是正交的，我們能確定乙個「座標軸」上的分量不會在其它座標軸上產生效果，因此它們的量是總的f(x)和該分量的乘積在區間a和b的積分，還記得公式
嗎？那是離散的情況，現在是它的連續情況！最終我們得到了係數b的表示法。所謂離散的情況和連續的情況區別僅在兩個符號：
離散的情況下，求和符號1直接相加了所有的項，而在連續的情況下，「乙個項」需要由兩部分組成，即「積分表示式」和dx，每乙個項都是這兩部分的乘積，並且各項的dx中的x是實數域的。
最終，我們得到了乙個分解後的通用表示：
然後模擬離散版的分量公式，求得了係數a和b，模擬是次要的，重要的是：乙個「座標軸」上的分量不會在其它座標軸上產生效果，因此它們的量是總的f(x)和該分量的乘積在區間a和b的積分：
傅利葉變換：
其實已經說完了，以上的推導過程其實就是傅利葉變換，我們看得出，直到最後我才使用了積分公式，並且通篇沒有使用任何關於更深層的數學原理性的論述，我們發現，其實理解傅利葉變換並不需要太多數學，甚至都不需要微積分知識，你只需要直到乙個道理：數學原理背後都有其物理模型，物理模型背後都有其現實解釋。
如果你確實將乙個函式表示成了傅利葉級數，那麼對於分析這個函式就太tm簡單了，以濾波為例，如果我們需要得到低頻訊號，那麼就可以將分量cosnx以後的全部丟掉，這樣，我們就可以得到任何頻率的訊號了，n.1聲道的分頻自動就解決了。
傅利葉級數的現實解釋就是：任何乙個訊號都是多個週期訊號疊加而成的。我們可以用我們學過的波的干涉原理來理解它，乙個兩列簡諧波1,2疊加的波a，在任何時間點，波a的幅度都是波1和波2幅度的算術和！
後記：
分碼多重進接是將「碼」本身當成了正交分量，而傅利葉級數卻將頻率當成了正交分量，它們倆的本質是相同的，唯一不同的就是對其的物理解釋不同，如果我做了乙個離散版本的傅利葉變換，過濾了高頻訊號，和分碼多重進接的沃爾什編碼相比較一下，它們的公式最終是一模一樣了。
只要我們將乙個訊號按照一定的物理解釋進行分解，各種級數就都出來了，除了那些純數學的抽象解釋，泰勒級數遠比傅利葉級數更抽象，但是大多數教科書都是先講泰勒級數，即使這樣，泰勒級數也是有背後物理原理的，那就是任何乙個大的變化都是由小的變化漸變而成的，哲學上的解釋就是量變和質變，我們有拐點和馬鞍面的概念！ 對乙個函式的不斷求導其實就是挖掘它的變化層次，也就是最終有多少層的變化導致了最終函式曲線走向的變化。
本文沒有使用常規的方法且求解傅利葉級數係數，而是純粹從物理解釋方面上進行形象化的解釋和求解。傳統的求解方式也比較簡單就是在式子(1)兩邊同時乘以乙個coskx和sinkx分別求解a和b，這是一種純數學的求解方式。
Opencv之傅利葉變換
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