題目：用牛頓法求方程x-cos(x)=0的實根（精確到1e-6）。
（1）要求用函式呼叫。
（2）進一步研究和弦截法作比較。
演算法分析：
（1） 此題是利用牛頓方法解一元非線性方程的根。（牛頓法是把非線性方程區域性線性化的一種方法，它在單根附近具有較高的收斂速度。）所以首先我們應先給出估計的根，先對方程x-cos(x)=0變形，令y1=x,y2=cos(x),則兩函式圖象的交點，就是方程x-cos(x)=0的根，這裡利用matlab作圖估計根的值。
在matlab命令列中輸入，並執行：
>>x=-2:0.01:2;
>>y1=cos(x);
>>y2=x;
>>plot(x,y1,x,y2);
>>grid on;
可得下圖：
從圖中可以很容易得到根x的初值可選0.6。
（2）利用牛頓法的迭代公式x1=x0-(f(x0)/f』(x0));這裡首先取x0=0.6,代入迭代公式，然後判斷x1與x0之差的絕對值是否小於精度，如果小於精度，則停止，即得出根x的值，如果不小於精度，則繼續迭代，直到符合精度為止。
matlab**如下：
（1）funnewton.m函式檔案為：
%此檔案為被調函式檔案。 function[y,dirv_y]=funnewton(x) %y與dirv_y為函式返回的引數，x為呼叫時的傳遞引數。 y=x-cos(x); dirv_y=1+sin(x); %dirv_y為y的一階導函式
clear all %清除所有變數 error=1e-6; %根所要求的誤差精度 formatlong %格式化此行一下的變數。 x=0.6; fork=1:20 %迭代次數20次 [y,dirv_y]=funnewton(x); %呼叫函式檔案 xk=x; %xk可保留前一次x的值。 x=x-y/dirv_y; %牛頓法的核心，即此迭代公式。 if(abs(xk-x)<=error) %判斷當此x的值與前一次x的值即xk的差值，即誤差是否小於題目給定的誤差。 break; end end x %輸出根x的值。
>>newton
x=0.739085133215161
結果分析：
在matlab的命令列中輸入：
>>format long
>>fzero('x-cos(x)',0)
ans=0.739085133215161
經比較可知：牛頓法的結果有一定的誤差，但是牛頓方法由於在單根附近有良好的收斂性，所以與其他方法得出的結果相比誤差較小。但是牛頓方法有個缺點：它只在根附近區域性收斂。所以所我們在給定x的初值時尤為重要，如果給的初值離真值過遠。那麼用牛頓法可能永遠也找不到此方程的解。對於這種情況，我們可以先利用工具軟體（如：matlab）畫出草圖，確定根的大致位置。牛頓法的每一步迭代都要計算一次導數值，而在計算機中，計算一次導數的近似值比計算函式值要麻煩的多。所以我們可以用弦截法，其迭代公式為：x2=x1-((x1-x0)/f(x1)-f(x0))*f(x1).
當f(x)在x*的某乙個鄰域內具有二階連續導數，且f』(x)!=0,初值x0,x1落在此鄰域內，弦截
法是收斂的。
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