最近我在知乎上看到了乙個扔雞蛋的問題[1]，問題描述如下。在網上學習後，將相關知識整理如下。
有乙個 n 層的建築。如果乙個雞蛋從第 k 層及以上落下，它會碎掉。如果從低於這一層的任意層落下，都不會碎。
有 2 個雞蛋，用最壞的情況下實驗次數最少的方法去找到k, 返回最壞情況下所需的實驗次數。
拓展：若有m個雞蛋，返回最壞情況下所需的實驗次數。
測試用例：
m = 2, n=100 → t = 14
m = 2, n = 36 → t = 8
定義用 m 個蛋在 n 層大樓上最壞情況下確認 k 的所需試驗次數，記為 f(n, m)，易知 m >= 1 ，f(0, m) = 0，f(n, 1) = n
我們可以把任何一種策略都看成乙個決策樹, 每一次扔瓶子都會有兩個子節點, 對應碎與不碎的情況下下一步應該扔的樓層。可以得出，此時有 k + (k-1) + (k-2) + …… + 1 = n，所求得的k值即為 f(n, 2) 的值。那麼, 策略的一次執行, 是樹中的一條從根往下走的路, 當且僅當這條路上出現過形如 k 層沒碎 與 (k+1)層 碎了的一對節點時, 路停止, 當前節點不再擴充套件。那麼要找的是這麼一棵樹, 使得所有路裡最長者盡量短, 也即, 要找乙個最矮的決策樹。
再看乙個節點處, 選擇樓層時會發生什麼。容易看出, 選擇的樓層如果變高, 那麼"碎子樹"高度不減, "不碎子樹"高度不增。同樣的, 選擇的樓層變矮的話, "碎子樹"高度不增, "不碎子樹"高度不減。
這時候答案很明顯了: 為了使兩子樹中高度最大者盡量小, 我們的選擇應當使兩子樹高度盡量接近.最終希望的結果是, 整個二叉樹盡量像乙個滿二叉樹。
假設第一次在根節點上, 我們選擇扔k層, 其"碎子樹"的高度顯然是k - 1。為了考慮不碎子樹的高度, 設不碎後第二次扔m層(顯然m > k ), 則這個新節點的碎子樹高度為 m - k - 1, 不碎子樹高度仍然未知, 但按照滿二叉樹的目標, 我們認為它與碎子樹相同或少1就好。那麼在根節點上的不碎子樹的高度就是m -k-1 + 1, 令它與碎子樹高度相同, 於是: m - k - 1 + 1 = k - 1 => m = k + k - 1。
也即, 如果第一次扔在k層, 第二次應該高 k-1 層, 這可以有直觀一點的理解:每扔一次, 就要更保守一些, 所以讓區間長度少1. [1, k) -> [k + 1, 2k - 1)。用類似剛才的分析, 可以繼續得到, 下一次應該增高k - 2, 再下一次應該增高k - 3。
考慮在第w層扔下雞蛋，情況有兩種：
綜上所述，由上述兩種情況可知，最壞情況下的最小值 f(n, m) = min + 1 | 1<=i<=n } 。此演算法時間複雜度為o(mn2)，由於當 m>n 時，令 m=n 不影響結果，則o(mn2)=o(n3)。空間複雜度為o(n)。
下限的優化
考慮最壞情況，如上所言，此二叉樹的葉子結點有(n+1)個，則樹的高度至少為⌈log2(n+1)⌉+1，而二分尋找的最壞情況也為⌈log2(n+1)⌉。所以⌈log2(n+1)⌉是乙個可達的下限。換而言之，對任意的n，無論m取何值，f(n, m)的值均不會小於⌈log2(n+1)⌉。一旦 m>=⌈log2(n+1)⌉，可直接輸出⌈log2(n+1)⌉，時間複雜度降為o(n2 log n)。
[1]一幢 200 層的大樓，給你兩個雞蛋。如果在第 n 層扔下雞蛋，雞蛋不碎，那麼從第 n-1 層扔雞蛋，都不碎。這兩隻雞蛋一模一樣，不碎的話可以扔無數次。最高從哪層樓扔下時雞蛋不會碎？
[2]problem of two eggs
[3]教你徹底理解動態規劃——扔雞蛋問題 drop eggs2
[4]優化，再優化！——從《鷹蛋》一題**對動態規劃演算法的優化
扔雞蛋問題
因為就乙個雞蛋，所以，我們很容易就可以想到從第一層開始扔就可以了，直到碎，說明這是n 1層。這裡當然也可以按照第乙個問題的方法來實現，即從第一層開始向上，直到摔碎為止，但是這種方法顯然是低效的。方法二 二分查詢 當時就想到了使用這種方法，即採用二分查詢的思路，第一次在50層扔 如果碎了，那麼從第一層...
扔雞蛋問題
因為就乙個雞蛋，所以，我們很容易就可以想到從第一層開始扔就可以了，直到碎，說明這是n 1層。這裡當然也可以按照第乙個問題的方法來實現，即從第一層開始向上，直到摔碎為止，但是這種方法顯然是低效的。方法二 二分查詢 當時就想到了使用這種方法，即採用二分查詢的思路，第一次在50層扔 如果碎了，那麼從第一層...
扔雞蛋問題
標籤 演算法 初始問題 在100層樓裡，給定2個雞蛋，在安全樓層以上的樓扔雞蛋會碎。設計一種方案，測試哪層樓是最高安全樓層，要求測試次數最少。思路 這是典型的動態規劃問題。假設 f n 表示從 n 層樓找到摔雞蛋不碎安全樓層的最少判斷次數。假設第乙個雞蛋第一次從第 i 層扔下，如果碎了，說明安全樓層...