扔雞蛋問題

標籤：演算法

初始問題：在100層樓裡，給定2個雞蛋，在安全樓層以上的樓扔雞蛋會碎。設計一種方案，測試哪層樓是最高安全樓層，要求測試次數最少。

思路：這是典型的動態規劃問題。

假設$f[n]$表示從$n$層樓找到摔雞蛋不碎安全樓層的最少判斷次數。

假設第乙個雞蛋第一次從第$i$層扔下，

如果碎了，說明安全樓層低於$i$。剩乙個雞蛋，為確定$i-1$下面樓層中的安全樓層，必須從第一層挨著試直到$i-1$層，還需要扔$i-1$次雞蛋；

如果不碎的話，說明安全樓層高於$i$。問題轉化為，在以第$i+1$層為地面的$n-i$層樓裡找安全樓層，還有兩個雞蛋，即還需要扔$f[n-i]$次雞蛋。

因此，在上述兩種情況中，最差情況是扔$1 + max(i-1,f[n-i])$次雞蛋。

狀態轉移方程:$$f[n] = min$$

初始條件:$$f[0]=0, f[1]=1$$

**實現

//@num 層數
public static int dropegg(int num)
dp[n] = min;
} return dp[num];
}

問題擴充套件：$n$層樓與$m$個雞蛋的問題。

假設$f[n,m]$表示$n$層樓、$m$個雞蛋情況下，找到摔雞蛋不碎的安全樓層的最少判斷次數。

假設乙個雞蛋從第$i$層扔下，

如果碎了，還剩$m-1$個雞蛋，為確定下面樓層中的安全位置，還需要扔$f[i-1,m-1]$次雞蛋；

如果不碎，上面還有$n-i$層，還需要扔$f[n-i,m]$次雞蛋。

因此，在上述兩種情況中，最差情況是扔$1 + max(f[i-1,m-1],f[n-i,m])$次雞蛋。

狀態轉移方程：$$f[n,m] = min$$

初始條件：$$f[i,0]=0,f[i,1]=i$$

//@num 層數
//@egg 雞蛋數
public static int dropegg(int num, int egg) 
for (int i = 0; i < dp[0].length; i++) 
for (int n = 2; n <= num; n++) 
dp[n][m] = min;
} }return dp[num][egg];
}

回到初始問題，怎麼設計這個扔雞蛋方案呢？

我們先假設最壞情況下，雞蛋下落次數為$x$，即我們為了找出$n$，一共用雞蛋做了$x$次的實驗。

那麼，我們第一次應該在哪層樓往下扔雞蛋呢？

先讓我們假設第一次是在第$y$層樓扔的雞蛋，如果第乙個雞蛋在第一次扔就碎了，我們就只剩下乙個雞蛋，要用它準確地找出$n$，只能從第一層向上，一層一層的往上測試，直到它摔壞為止，答案就出來了。

由於第乙個雞蛋在第$y$層就摔破了，所以最壞的情況是第二個雞蛋要把第$1$到第$y-1$層的樓都測試一遍才得出結果。

這樣一來測試次數是$1+(y-1)=x$，即第一次測試要在第x層。

那如果第一次測試雞蛋沒摔破呢，那$n$肯定要比$x$大，要繼續往上找，需要在哪一層扔呢？

如果第乙個雞蛋在第二次測試中摔破了，那麼第二個雞蛋的測試次數就只剩下$x-2$次了(第乙個雞蛋用了2次)。

這樣一來，第二次扔雞蛋的樓層和第一次扔雞蛋的樓層之間就隔著$x-2$層。我們再回過頭來看一看，第一次扔雞蛋的樓層在第$x$層，第1層到第$x$層間共$x$層；第1次扔雞蛋的樓層到第2次扔雞蛋的樓層間共有$x-1$層(包含第2次扔雞蛋的那一層)，同理繼續往下，我們可以得出，第2次扔雞蛋的樓層到第3次扔雞蛋的樓層間共有$x-2$層……最後把這些互不包含的區間數加起來，應該大於等於總共的樓層數量100，即

\[x + (x-1) + (x-2) + ... + 1 >= 100

\]\[(x+1)*x/2 >= 100

\]得出$x=14$。

即測試序列為14，27，39，50，60，69，77，84，90，95，99，100。

扔雞蛋問題

扔雞蛋問題

扔雞蛋問題

樓層扔雞蛋問題

相關推薦