標籤： 演算法 複雜度分析
以下是評估遞迴時間複雜度的主定理，例如有遞迴形式
\[t(n) = at(n/b) + f(n)
\]其中, \(a≥1\)和\(b≥1\), 均為常數, \(f(n)\)是乙個確定的正函式。 在\(f(n)\)的三類情況下, 我們有\(t(n)\)的漸近估計式：
若對於某常數\(ε>0\), 有\(f(n) = o(n ^ )\), 則\(t(n) = \theta(n ^ )\)
若\(f(n) = o(n ^ )\), 則\(t(n) = o(n ^ *lgn)\)
若對某常數\(ε>0\), 有\(f(n)=\omega(n ^)\), 且對常數\(c<1\) 與所有足夠大的\(n\),有\(af(n/b)\le cf(n)\), 則\(t(n)=\theta(f(n))\)。
主定理可以理解為：
情況1, 若\(f(n) \lt n ^ \), 則複雜度為 $t(n)=\theta(n ^ ) \(;
情況2, 若\)f(n) = n ^ $, 則複雜度為 $t(n)=\theta(n ^ * lg n) \(;
情況3, 若\)f(n) \gt n ^ $, 則複雜度為 $t(n)=\theta(f(n)) $。
（1）求\(t(n) = 9t(n/3) + n\)
其中\(a = 9\), \(b = 3\), \(f(n) = n\), 代入求解得 \(n ^ = n ^ 2\), 由於\(f(n) < n ^ 2\), 情況1成立，\(t(n) = \theta(n ^ 2)\)
（2）求\(t(n) = t(2n/3) + 1\)
其中\(a = 1\), \(b = 3/2\), \(f(n) = 1\), 代入求解得 \(n ^ 1} = n ^ 0 = 1\), 由於\(f(n) = 1\), 情況2成立，\(t(n) = \theta(lg n)\)
（3）歸併排序的複雜度分析
（二路）歸併排序屬於分治法，本質是先把陣列分成兩半，再做合併操作，其中合併操作複雜度為常數\(c\)，則可以看作
\[t(n) = 2t(n / 2) + c
\]其中\(a=2\), \(b = 2\),$ f(n) = c\(, 則根據主定理分析，\)n^ = n ^ 1 = 1 $, 屬於情況2, 則歸併排序的複雜度為
\[t(n) = \theta(n *lg n)
\]
演算法複雜度分析 主定理
規模為n的問題通過分治，得到a個規模為n b的問題，每次遞迴帶來的額外計算為c n d t n at n b c n d 那麼就可以得到問題的複雜度為 可見，每次遞迴把問題分為a個規模為n b的子問題。從根節點開始，共有logb n 1層，葉子節點數為a logb n 那麼，第j層共有aj個子問題，...
演算法分析 快速排序 主定理分析遞迴的複雜度
快速排序對於初學者而言算是實現較為困難的一種排序方法，而其 的實現方法也有多種，本文採用其中一種方法實現快排，並採用主定理對其複雜度進行分析。對於乙個已經排序好的陣列，一定有該特性 任取乙個數字，其左邊的數字 若存在 全部小於該數字，其右邊的數字 若存在 一定大於該數字。那麼我們便可以對乙個未排序陣...
主定理與時間複雜度
只好在網上找了一篇看起來不怎麼嚴謹的部落格，不過算出來的是對的？那就預設是對的吧qwq 如果我們要解決規模為 n 的問題，通過分治，得到 a 個規模為 frac 的問題，每次的額外複雜度為 o n d t n at frac c n d begin t left n right begino lef...