快速冪問題

所謂的快速冪，實際上是快速冪取模的縮寫

首先，最基本的辦法是：

int ans = 1;
for(int i=1;i<=b;i++)
ans =ans%c; //ans是對answer的縮寫

但是如果a很大，那麼a^b的結果就容易非常大，所以在求之前可以先對a做乙個變化如下：

int ans = 1;
a =a%c; //加上這一句 
for(int i=1;i<=b;i++)
ans =ans%c;

加上那一句之後，求出來的答案是不會變得，，可以舉個數字體味一下哦！

按照上面的思路，我們還可以在別的地方再取一次餘哦，讓過程中的數字盡可能地小：

int ans = 1;
a =a%c; //加上這一句 
for(int i=1;i<=b;i++)
ans =ans%c;

噹噹噹噹~~~~~經過上面，我們終於可以用快速冪來求解了：

首先，快速冪的理論基礎：

快速冪的過程是快速求出a^b的過程，算到最後ans還是要%c的：

快速求出a^b:

1、當b為偶數時，a^b可以轉化為（a^2）的（b/2）次方

2、當b為奇數時，a^b可以轉化為（a^2）的（b/2)次方再乘 a //比偶數多乙個乘a,可以放到最前面乘上

證明巴拉巴拉的我就不證了，可以帶個數字體會一下這個過程哦！

看**：

int ans = 1;
a =a%c; // a在此時%c是為了簡化數字 
if(b%2==1) ans = (ans*a)%c; //如果是基數，要求多一步，可以提前算到ans中 ，這裡%c也是為了簡化數字 
k=(a*a)%c; //取a^2 //k在此時%c是為了簡化數字 
for(int i=1;i<=b/2;i++)
ans =ans %c; //在求出a^b的最後不要忘記%c哦

我們可以看到，我們把時間複雜度變成了o(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a) mod c時，狀態已經發生了變化，我們把最終(a^b)%c轉化成了【(a^2)%c的b/2】%c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對於奇數的情形會多出一項乘a的過程，這裡像上面一樣加在開始的地方ans = (ans * a) % c;就可以了。形如上式的迭代下去後，當b=0時，所有的因子都已經相乘，演算法結束。於是便可以在o（log b）的時間內完成了。於是，有了最終的演算法：快速冪演算法。

int ans =1;
a=a%c; 
while(b>0) //這裡我不太懂哎，，最後為什麼沒有在%c 但是既然是乙個簡化的過程，過程中應該已經省的很多了吧

把上面的**結構化，也就是寫成函式

int powermod(int a,int b,int c) 
return ans;
}

本演算法的時間複雜度為o（logb），能在幾乎所有的程式設計（競賽）過程中通過，是目前最常用的演算法之一。

擴充套件：有關於快速冪的演算法的推導，還可以從另乙個角度來想。

=？求解這個問題，我們也可以從進製轉換來考慮：

將10進製的b轉化成2進製的表示式：

那麼，實際上，.

所以注意此處的要麼為0，要麼為1，如果某一項，那麼這一項就是1，這個對應了上面演算法過程中b是偶數的情況，為1對應了b是奇數的情況[不要搞反了，讀者自己好好分析，可以聯絡10進製轉2進製的方法]，我們從依次乘到。對於每一項的計算，計算後一項的結果時用前一項的結果的平方取餘。對於要求的結果而言，為時ans不用把它乘起來，[因為這一項值為1]，為1項時要乘以此項再取餘。這個演算法和上面的演算法在本質上是一樣的，讀者可以自行分析，這裡我說不多說了，希望本文有助於讀者掌握快速冪演算法的知識點，當然，要真正的掌握，不多練習是不行的。

快速冪問題

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快速冪問題

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