快速冪
正常情況下求乙個數的冪時間複雜度為o(n)，而快速冪能把時間複雜度降到o(logn)。
舉個例子：求5的13次方
思想首先把13化為二進位制：1101，即13 = 1101 = 8 * 1 + 4 * 1 + 2 * 0 + 1 * 1 。
即5 13=
58∗1
+54∗
1+52
∗0+5
1∗
15^ = 5^8 * 1 + 5^4 *1 +5 ^ 2 * 0 + 5^1 * 1
513=58
∗1+5
4∗1+
52∗0
+51∗
1 1，
52，5
4，58
5^1，5^2，5^4，5^8
51，52，
54，5
8這四個數，這四個數有乙個很明顯的規律，後乙個數等於前乙個數的平方。
如果我知道第乙個數51=
55^1 = 5
51=5
，那很輕鬆就能求出第二個數是5 * 5 = 25，
接著，第三個數 25 * 25 = 625，
第四個數 625 * 625 = 390625
如果後邊還有更多，可以接著往下求。
上述過程用乙個迴圈就能解決：
long long ans = 1
long long x = 5
long long n = 4
while(n)
52∗5
4∗58
5^1 * 5^2 * 5^4 * 5^8
51∗52∗
54∗5
8的值。
現在再看如果把1101 加上該怎麼算。
可以發現1對結果沒有任何影響：51∗
1和51
5^1 * 1 和 5^1
51∗1和5
1沒有區別。
再看0產生的影響：52∗
0=50
=1
5^2 * 0 = 5^0 = 1
52∗0=5
0=1，即如果是0，會把該項變成1。
那要對上面的**稍作更改，就可以求帶1101的式子的積：
long long ans = 1
long long x = 5
long long n = 4
long long arr = [1, 0, 1, 1]
int i = 0
while(n)
i++;
x *=x;
n--;
}
1∗54
∗1∗5
2∗0∗
51∗1
=5
135^8 * 1 * 5^4 * 1 * 5^2 * 0 * 5^1 * 1 = 5^
58∗1∗5
4∗1∗
52∗0
∗51∗
1=51
3的值。
以上就是快速冪的思想：把指數化成二進位制，然後根據這個二進數每一位上是0還是1來判斷進行什麼操作。
但是上面的**顯然是沒法使用的，因為我們所有的變數都是寫死的，那接下來就來看看怎麼把思想變成**。
**實現
整個快速冪一共要做的就是兩件事：
1.把指數化成二進位制形式。
2.根據這個二進數每一位上是0還是1來判斷進行什麼操作。
乙個很容易想到的方法是把兩步分開，先化二進位制，然後把二進位制存成陣列或者字串形式，再來判斷。
#include#include#include#include#define ll long long
const int mod=1e7+7;
using namespace std;
int arr[50];//儲存指數轉化後的二進位制
int cnt = 1;
ll ans = 1;//儲存最終結果
void get_binary(ll n)//轉化成二進位制
}ll get_ans(ll x)
x *= x;
cnt--;
}return ans;
}int main()
cout << endl;
cout << get_ans(x) << endl;
}//以5 13輸入為例
//上邊的**第35行輸出的是 1 0 1 1（可以發現是反著儲存的(13化二進位制是1101)，所以求結果的時候也要反著來）
//然後38行輸出 1220703125
不過還是可以小小的優化一下。
其實完全沒必要把二進位制結果存下來，因為這個東西只用到了一次，而且用二進位制的每一位的時候和它前後都無關，所以我們完全可以在求二進位制每一位的時候同時進行結果的運算。
#include#include#include#include#define ll long long
const int mod=1e7+7;
using namespace std;
ll ans = 1;//儲存最終結果
ll get_binary(ll x, ll n)//轉化成二進位制
x *= x;
n /= 2;
}return ans;
}int main()
第十二行的n % 2 可以換成 n & 1 ，兩者是可以劃等號的。同樣，第十六行的n /= 2也可以換成 n >>= 1，這個操作是把二進位制右移一位，也就相當於除以2。之說以這樣寫據說是計算機中進行二進位制運算比十進位制要快那麼一丟丟。
求快速冪一般都會伴隨著取餘，否則根本存不下。上面的**如果改的話只需要把第13和15行改一下就可以了：
while(n > 0)
x = (x * x) % mod;
n /= 2;
}
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p
(a - b) % p = (a % p - b % p ) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
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