SG函式入門

參考部落格：

首先定義mex(minimal excludant)運算，這是施加於乙個集合的運算，表示最小的不屬於這個集合的非負整數。例如mex=3、mex=0、mex{}=0。

對於任意狀態 x ，定義 sg(x) = mex(s),其中s 是 x 後繼狀態的sg函式值的集合。如 x 有三個後繼狀態分別為 sg(a),sg(b),sg(c)，那麼sg(x) = mex。這樣集合s 的終態必然是空集，所以sg函式的終態為 sg(x) = 0,當且僅當 x 為必敗點p時。

sg函式的性質：

首先，所有的terminal position（目標位置）所對應的頂點，也就是沒有出邊的頂點，其sg值為0，因為它的後繼集合是空集。然後對於乙個g(x)=0的頂點x，它的所有前驅y

都滿足 g(y)!=0。對於乙個g(x)!=0的頂點，必定存在乙個後繼y

滿足g(y)=0。

sg值的意義：

1，當g(x)=k時，表明對於任意乙個0<=i

k，都存在x的乙個後繼y滿足g(y)=i。為什麼一定存在呢？

因為mex函式運算時，g(y)等於最小的不屬於（y後繼狀態）這個集合的非負整數，換言之，y的後繼狀態一定有

[0,k-1]

這個範圍，才會出現g(x)=k,k為不小於後繼狀態（集合），因為函式g就是按照mex運算得來的。

2，當某枚棋子的sg值是k時，我們可以把它變成0、變成1、……、變成k-1，但絕對不能保持k不變。這個聯想到nim遊戲， nim遊戲的規則就是：每次選擇一堆數量為k的石子，可以把它變成0、變成1、……、變成k-1，但絕對不能保持k不變。這表明，如果將n枚棋子所在的頂點的sg值看作n堆相應數量的石子，那麼這個nim遊戲的每個必勝策略都對應於原來這n枚棋子的必勝策略！

3，對於n個棋子，設它們對應的頂點的sg值分別為(a1,a2,…,an)，再設局面(a1,a2,…,an)時的nim遊戲的一種必勝策略是把ai 變成k，那麼原遊戲的一種必勝策略就是把第i枚棋子移動到乙個sg值為k的頂點。這就相當於可以看做，每次最聰明的操作是按照nim遊戲sg(n)值來移動，例如我們想把sg(n)變為sg(小於n)，就滿足最聰明移動，但我們真正移動的又不是sg(n)的值，移動的是原來頂點n的值，咦，好像也是哦，沒關係，我們依舊移頂點n的值，只是說移動頂點n的值時，要滿足移動後頂點值（小於n），sg(小於n)的值是我們想要的最聰明的sg值。

這就好像我們敲**，我們通過高階程式語言來間接寫機器語言執行計算機。

計算1~n的sg函式值步驟如下：

1、使用陣列f 將可改變當前狀態的方式記錄下來。

2、然後我們使用另乙個陣列將當前狀態x 的後繼狀態標記。

3、最後模擬mex運算，也就是我們在標記值中搜尋未被標記值的最小值，將其賦值給sg(x)。

4、我們不斷的重複 2 - 3 的步驟，就完成了計算1~n 的函式值

**：

//f[n]:可改變當前狀態的方式，n為方式的種類，f[n]要在getsg之前先預處理
//sg:0~n的sg函式值
//s:為x後繼狀態的集合
int f[n],sg[maxn],s[maxn];
void getsg(int n)
}}

給出一道入門級的題目：

hdu 1848

#include #include#includeusing namespace std;

const int maxn=1010;

#define n 20

int f[n],sg[maxn],s[maxn];///f可走步數//s後繼存在狀態

void getsg(int n){

int i,j;

memset(sg,0,sizeof(sg));///pn點

for(i = 1; i <= n; i++){///從i=1開始

memset(s,0,sizeof(s));///每次初始化s後繼存在狀態

for(j = 0; f[j] <= i && j < n; j++)///f[i]我的標籤：做個有情懷的程式設計師。

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SG函式和SG定理

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