完全揹包
多重揹包
混合揹包
揹包問題(knapsack problem)是一種組合優化的np完全問題。它是在2023年由merkel和hellman提出的。
問題的描述為：
有乙個揹包，最多放m kg的物體（物體大小不限）；揹包問題一般分為兩種，若每個物體不可拆分，則稱為0-1揹包問題（和其引申問題），這種問題無法用貪心法求的最優解，應該用動態規劃的思想。而若每個物體可以切分，則稱為一般揹包問題，可以使用貪心法求的最優解。有n個物體，每個物體的重量為wi，每個物體完全放入揹包後可獲得收益vi。問： 如何放置能獲得最大的收益？
對於一般揹包問題，其思想就是貪心。
貪心策略：先將每一件物品權值與重量的比值按從大到小的順序排序，然後依次放入揹包，也就是價效比最高的先放入揹包。
有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是w[i]，價值是v[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。這是最常見的揹包問題，其特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。
用子問題定義狀態：即a[i][j]表示前i件物品恰放入乙個容量為j的揹包可以獲得的最大價值。
當不放的時候則是：a[i][j] = a[i-1][j];
放的時候則是：a[i][j] = a[i-1][j-w[i]]+v[i]；
如果不放，就保持上一種狀態，如果放，就在犧牲容積的情況下增加價值。由於我們求的是最大價值，則其狀態轉移方程便是：
a[i][j]=max。
for
(int i=
1;i<=n;i++
)for
(int j=v;j>=
1;j--
)
先考慮上面講的基本思路如何實現，肯定是有乙個主迴圈i=1…n，每次算出來二維陣列f[i][0…v]的所有值。那麼，如果只用乙個陣列f [0…v]，能不能保證第i次迴圈結束後f[j]中表示的就是我們定義的狀態f[i][j]呢？
f[i][j]是由f[i-1][j]和f [i-1][j-w[i]]兩個子問題遞推而來，能否保證在推導f[v]時（也即在第i次主迴圈中推f[j]時）能夠得到f[j]和f[j -w[i]]的值呢？事實上，這要求在每次主迴圈中我們以v=v…0的順序推f[j]，這樣才能保證推f[j]時f[j-w[i]]儲存的是狀態f[i-1][j-c[i]]的值。
**如下：
for
(int i=
1;i<=n;i++
)for
(int j=v;j>=w[i]
;j--
)
有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的費用是w[i]，價值是v[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。這個問題非常類似於01揹包問題，所不同的是每種物品有無限件。也就是從每種物品的角度考慮，與它相關的策略已並非取或不取兩種，而是有取0件、取1件、取2件……等很多種。如果仍然按照解01揹包時的思路，令f[i][j]表示前i種物品恰放入乙個容量為j的揹包的最大權值。最終得出結論，完全揹包和0-1揹包的狀態方程是基本一致的，但是為什麼完全揹包的迴圈是正序[w[i],v]，而0-1揹包的迴圈是倒序[v,w[i]],
這是因為完全揹包的特點恰是每種物品可選無限件，所以在考慮「加選一件第i種物品」這種策略時，卻正需要乙個可能已選入第i種物品的子結果f[i][j-w[i]]，正序則正好滿足其條件。
for
(int i=
1;i<=n;i++
)for
(int j=
1;j<=v;j++
)
for
(int i=
1;i<=n;i++
)for
(int j=w[i]
;j<=v;j++
)
有n種物品和乙個容量為v的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是w[i]，價值是v[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。與完全揹包一樣，多重揹包也是轉化為0-1揹包問題來做：把第i種物品換成n[i]件01揹包中的物品，則得到了物品數為σn[i]的01揹包問題，直接求解，時間複雜度為o(v*σn[i])。
for
(int i=
1;i<=n;i++
)for
(int j=v;j>=w[i]
;j--
)for
(int k=
1;k<=n[i]
&&j-k*w[i]
>=
0;k++
) f[j]
=max
(f[j]
,f[j-w[i]
*k]+v[i]
*k);
因為1、2、4、8 、16 、 32……2 n 可以組成從1到2（n+1）-1中的任何數
用二進位制的思想，我們將第i種物品分成若干件物品，其中每件物品有乙個係數，這件物品的費用和價值均是原來的費用和價值乘以這個係數。使這些係數分別為1,2,4,…,2(k-1)，n[i]-2 k +1，且k是滿足n[i]-2k+1>0的最大整數。例如，如果n[i]為13，就將這種物品分成係數分別為1,2,4,6的四件物品。
這樣就把原問題轉化為了複雜度為o(v*σlog n[i])的01揹包問題。
for
(int i=
1;i<=n;i++)if
(a[i]
.num>0)
//最後一項補齊
}
如果將0-1揹包、完全揹包、多重揹包混合起來。也就是說，有的物品只可以取一次（01揹包），有的物品可以取無限次（完全揹包），有的物品可以取的次數有乙個上限（多重揹包）。應該怎麼求解呢？設p[i]=0,1,n(n!=0,1)分別為0-1揹包、完全揹包、多重揹包。
**如下：
#include
#include
#define maxn 10005
using
namespace std;
int t[maxn]
,c[maxn]
,p[maxn]
;int
main()
else
if(p[i]==1
)//01揹包
else
//多重揹包
} cout<;return0;
}
揹包問題模板
特點 每種物品只有一件 子問題定義狀態 bag i v 前i件物品放到乙個容量為v的揹包中可以獲得最大價值 轉移狀態方程 bag i v max bag i 1 v bag i 1 v weight i value i 模板 include include using namespace std i...
揹包問題模板
01揹包在時間複雜度上都是n n v 在這個基礎之上已經不能再進行優化了，在空間複雜度上，我們首先看一下複雜度為o n v 的程式 for int i 1 i n i for int j 0 j w j 但是我們還可以將空間複雜度壓縮為o v 我們會發現這裡每次更新第i層都只是看第i 1層，其他層的...
模板 揹包問題
include include define max a,b a b a b using namespace std const int n 1005 int n,v,v n w n int dp n voidf intmain f printf d n dp v return0 include i...