樹狀陣列（bin
aryi
ndex
edtr
ee
sbinary indexed trees
binary
inde
xedt
rees
）是一種由於維護序列字首和的資料結構。對於給定序列a
aa，我們建立乙個陣列c
cc，其中c[x
]c[x]
c[x]
儲存序列a
aa的區間[x−
lowb
it(x
)+1,
x]
[x - lowbit(x)+1, x]
[x−low
bit(
x)+1
,x]中所有數的和，即∑i=
x−lo
wbit
(x)+
1xa[
i]
\sum^_
∑i=x−l
owbi
t(x)
+1x
a[i]
。事實上， 陣列c
cc可以看做成乙個樹形結構，該結構滿足以下性質：
每個內部節點c[x
]c[x]
c[x]
儲存以它為根的子樹中所有葉節點的和。
每個內部節點c[x
]c[x]
c[x]
的子節點個數等於low
bit（
x）
lowbit（x）
lowbit
（x）的個數（low
bit(
x)=x
&(−x
)lowbit(x) = x \& (-x)
lowbit
(x)=
x&(−
x)）。除了樹根外，每個內部節點c[x
]c[x]
c[x]
的父節點是c[x
+low
bit(
x)
]c[x+lowbit(x)]
c[x+lo
wbit
(x)]
。樹的深度為o(l
ogn)
o(logn)
o(logn
)。樹狀陣列查詢字首和
int
ask(
int x)
void
add(
int x,
int y)
aa構造乙個樹狀陣列。
方法是：從小到大一次考慮每個節點x
xx，借助low
bi
tlowbit
lowbit
運算掃瞄它的子節點並求和。時間複雜度為o(n
)o(n)
o(n)
。線段樹（seg
ment
segment
segmenttr
ee
tree
tree
）是一種基於分治思想的二叉樹， 用於在區間上進行資訊統計， 可儲存複雜資訊， 比樹狀陣列更通用， 但是**量較大。
1.線段樹的每個節點都代表著乙個空間。
2.線段樹具有唯一的根節點， 代表的區間是整個統計範圍， 如[1, n]。
3.線段樹的每個葉子節點都代表乙個長度為1的區間[1, x]。
4.對於每個內部節點[l, r]，它的左子節點是[l, mid]， 右子節點是[mid+1,r]，其中mid = (l + r) / 2（向下取整）。
線段樹的向上更新
以求區間最大值為例：
void
pushup
(int p)
void
pushup
(int p)
線段樹的單元
struct node相當於對陣列維護的初始化
void
build
(int p,
int l,
int r)
int mid =
(l + r)
>>1;
build
(p<<
1, l, mid)
;build
(p<<1|
1, mid +
1, r)
;//對對應某區間的節點的兩個子節點更新
pushup
(p);
}
較靈活，可以根據題意進行靈活地改動
這裡以求某段區間中的最大值為例（於是用這個模板也可以求出最小值和極差）
int
ask(
int p,
int l,
int r)
void
change
(int p,
int x,
int v)
int mid =
(t[p]
.l + t[p]
.r)/2;
if（x <= mid)
change
(p<<
1, x, v)
;else
change
(p<<1|
1, x, v)
; t[p]
.val =
max(t[p<<1]
.val, t[p<<1|
1].val)
;}
為了節省時間， 通常在結構體裡多維護乙個變數lazy標記，這樣可以減少更新子節點的次數。注意有的題目要求要對每個葉子節點更新，就不可以用lazy標記。有的題目裡可能本身的資訊就可以充當lazy標記起到作用，就可以不用多維護變數。
void
pushdown
(int p)
t[p<<1]
.lazy +
= t[p]
.lazy;
t[p<<1|
1].lazy +
= t[p]
.lazy;
t[p<<1]
.lazy =0;
}void
change
(int p,
int l,
int r,
int d)
pushdown
(p);
int mid =
(t[p]
.l + t[p]
.r)>>1;
if(l <= mid)
change
(p<<
1, l, r, d);if
(r > mid)
change
(p<<1|
1, l, r, d)
;pushup
(p);
}int
ask(
int p,
int l,
int r)
樹狀陣列與線段樹
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