演算法學習（一）回溯法

回溯演算法實際上乙個類似列舉的搜尋嘗試過程，主要是在搜尋嘗試過程中尋找問題的解，當發現已不滿足求解條件時，就「回溯」返回，嘗試別的路徑。

回溯法是一種選優搜尋法，按選優條件向前搜尋，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇並不優或達不到目標，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術為回溯法，而滿足回溯條件的某個狀態的點稱為「回溯點」。

許多複雜的，規模較大的問題都可以使用回溯法，有「通用解題方法」的美稱。

在包含問題的所有解的解空間樹中，按照深度優先搜尋的策略，從根結點出發深度探索解空間樹。當探索到某一結點時，要先判斷該結點是否包含問題的解，如果包含，就從該結點出發繼續探索下去，如果該結點不包含問題的解，則逐層向其祖先結點回溯。（其實回溯法就是對隱式圖的深度優先搜尋演算法）。

若用回溯法求問題的所有解時，要回溯到根，且根結點的所有可行的子樹都要已被搜尋遍才結束。

而若使用回溯法求任乙個解時，只要搜尋到問題的乙個解就可以結束。

（1）針對所給問題，確定問題的解空間：首先應明確定義問題的解空間，問題的解空間應至少包含問題的乙個（最優）解。

（2）確定結點的擴充套件搜尋規則

（3）以深度優先方式搜尋解空間，並在搜尋過程中用剪枝函式避免無效搜尋。

//針對b+樹的遞迴回溯方法
void backtrack (int t)//初始條件
}

//針對n叉樹的迭代回溯方法
void iterativebacktrack ()
}} else //不存在子節點，返回上一層}}

所給的問題是從n個元素的集合s中找出滿足某種性質的子集時，相應的解空間成為子集樹。

如0-1揹包問題，從所給重量、價值不同的物品中挑選幾個物品放入揹包，使得在滿足揹包不超重的情況下，揹包內物品價值最大。它的解空間就是乙個典型的子集樹。

此類題型基本正規化：

void backtrack (int t)}}

leetcode例題：子集

給定一組不含重複元素的整數陣列 nums，返回該陣列所有可能的子集（冪集）。

說明：解集不能包含重複的子集。

輸入: nums = [1,2,3]
輸出:[
[3],
[1],
[2],
[1,2,3],
[1,3],
[2,3],
[1,2],
]

class solution 
helper(nums,0,new arraylist<>()); //從0個數開始直到n個數的排列
return listall;
}public void helper(int nums,int k,listlist) }}

所給的問題是確定n個元素滿足某種性質的排列時，相應的解空間就是排列樹。

leetcode例題：括號生成

給出 n 代表生成括號的對數，請你寫出乙個函式，使其能夠生成所有可能的並且有效的括號組合。

例如，給出 n = 3，生成結果為：

[
"((()))",
"(()())",
"(())()",
"()(())",
"()()()"
]

class solution 
void helper(string s,int l,int r,int n) 
if (l < n) //左括號小於總數，可以放左括號
if (r < l) //右括號小於左括號數，可以放右括號}}

此類問題為排列樹問題，即n個元素的全排列的滿足條件子集，此類問題正規化如下

void backtrack (int t)
}

問題描述：八皇后問題是乙個以西洋棋為背景的問題：如何能夠在 8×8 的西洋棋棋盤上放置八個皇后，使得任何乙個皇后都無法直接吃掉其他的皇后？為了達到此目的，任兩個皇后都不能處於同一條橫行、縱行或斜線上。

1. a[0] ~ a[7]不能相同，儲存棋子所在的列

2. 同一對角線上即座標斜率為1，即（i，j）和（k，l）的位置，當|i-k|=|j-l| 時，兩個皇后才在同一條對角線上。

遞迴回溯：

int a = new int[n];  //儲存皇后位置的陣列，下標為行，值位列
void queen(int k,int n) 
for (int i = 0;i < n;i++) }}
boolean isconflict(int k,int i) 
}return true;
}

各種大神解法：

參考文章：