pedersen commitment對應c = r*g + v*h；
將金額v表示成二進位制形式：v = bn…b2,b1,b0，bi屬於；
將私鑰r對應拆分為n個隨機數分片之和：r = an…+ a2 + a1；
將c對應拆分為n個ci分片之和：c = cn…+c2+c1; 其中ci = ai*g + bi*(2^i)*h；
取ci、ci – (2^i)*h為環簽名的公鑰集，則當bi = 0時，ci = ai*g，bi = 1時，ci – (2^i)*h = ai*g；
兩者必然有乙個等於ai*g，被選擇為環簽名的真正的金鑰對，進行環簽名，形成n個2元環簽名，也就證明了v的二進位制數值長度為n的正整數。驗證者並不知道2元環簽名中哪乙個是真正的金鑰對，因此無法推導出bi究竟是1還是0。
礦工只需進行兩步驗證：1、ci之和是否等於c；2、各個環簽名是否正確；
範圍證明技術只認無符號正整數，假設採用8bit無符號整數表達金額，若v為負數（-1），那麼在補碼表示法中，高位全部都是1，v就會被誤認為是255進行處理，這就會導致c = cn…+c2+c1不能成立，無法通過驗證，這就確保了v的值沒有二意性，只能為正整數。
bulletproofs rangeproof
v是輸入的金額（原始訊息）
comm 是用普鄧森見證加密的密文（根據原始訊息 + 隨機數得到）
對 v 進行左、右簡單處理，之後用普鄧森見證加密（新原始訊息 + 新隨機數），得到 a，雜湊雜湊得到 cy
隨機數 s 也是用普鄧森見證生成的，主要是方便後續使用，雜湊雜湊得到 cz
t1、t2，原理相同，都是使用普鄧森見證生成的，主要是方便後續使用，它們兩者雜湊雜湊得到 cx
內積（略）
tau，th 展開的多項式
mu，隨機數 & cx （即 t1、t2）得到
typerangeproofstruct{
comm ecpoint 密文1
a ecpoint 密文2
s ecpoint 隨機數1
t1 ecpoint 隨機數2
t2 ecpoint 隨機數3
tau * 密文3
th * 密文4
mu * 隨機數5
ipp innerprodarg 密文6
// challenges
cy * 指紋1
cz * 指紋2
cx * 指紋3
普鄧森見證
雜湊雜湊
a => cy
s => cz
t1, t2 => cx
普鄧森見證（機密交易），多項式擴充套件
tau, th => lhs
comm => rhs
內積 = 展開的多項式
內積，內乘積（也可分為3步）
th, ipp; a, s, mu
mu, ipp => innerproductverifyfast
運算元公式證明 BCH公式的有趣證明
baker campbell hausdorff 公式是群論和量子力學中常用的公式之一，但是在量子力學的教材中通常不會展開證明。它可以解決很多近似問題，也是證明諸多定理的工具，其中之一就是李群 李代數對應。本文的重點的不在於數學上的嚴謹性，而是直覺上的趣味性。尤其是，能夠用通常求解微分方程的方法求解...
零知識證明
零知識證明的幾個例子 原創 1 a要向b證明自己擁有某個房間的鑰匙，假設該房間只能用鑰匙開啟鎖，而其他任何方法都打不開。這時有2個方法 一 a把鑰匙出示給b，b用這把鑰匙開啟該房間的鎖，從而證明a擁有該房間的正確的鑰匙。二 b確定該房間內有某一物體，a用自己擁有的鑰匙開啟該房間的門，然後把物體拿出來...
原因與證明
我在 cornell 的時候經常遇到這樣的問題，那就是教授們一上課就在黑板上寫長篇的 定理證明 全體同學認認真真在下面抄筆記，就連只有十來個人的小課也是那樣。有些寫字速度慢的人就不得不帶上小型錄音機，把教授的課全都錄下來，要不就是之後去借別人的筆記來抄。有一次某知名教授照著講義，背對著學生，在黑板上...